Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de equações diferenciais onde três funções, , e , estão relacionadas pelas seguintes derivadas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação para resolver sistemas de equações diferenciais. Basicamente, vamos manipular as equações para eliminar uma das variáveis e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais organizada, para facilitar o trabalho:
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos tentar eliminar . Para isso, vamos expressar a partir da equação (1):
Passo 4
Agora, precisamos de uma relação que envolva . Vamos usar a equação (2) para isso. Vamos substituir da equação (1) na equação (2):
Substituindo da equação (1):
Passo 5
Simplificando a substituição:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
Vamos resolver a equação (1’) para :
Passo 7
Agora, substituímos na equação (2’):
Isso nos leva de volta à equação (2), mostrando que precisamos de outra abordagem para eliminar uma variável.
Passo 8
Vamos tentar eliminar . Para isso, multiplicamos a equação (1) por 3 e subtraímos a equação (2):
Multiplicando (1) por 3:
Subtraindo (2):
Passo 9
Agora, temos uma relação entre e . Vamos usar a equação (3) para relacionar :
Podemos tentar expressar uma das derivadas em termos das outras variáveis.
Passo 10
Para simplificar, vamos assumir soluções da forma , onde é um vetor próprio e é o valor próprio. Substituindo na equação diferencial, obtemos o sistema:
Onde é a matriz dos coeficientes do sistema:
Passo 11
Para encontrar os valores próprios , resolvemos o determinante:
Calculando o determinante:
Passo 12
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Continuando a simplificação, encontramos os valores de .
Passo 13
Após resolver o polinômio característico, obtemos os valores próprios. Supondo que temos três valores reais distintos, podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear das soluções individuais correspondentes a cada valor próprio.
Passo 14
Finalmente, combinamos todas as soluções individuais para obter a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Resposta
A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes aos valores próprios encontrados, da forma:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais, são os valores próprios e são os vetores próprios correspondentes.