Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de equações diferenciais onde três funções, x1' = x1 - x2 + 4x3 x2' = 3x1 + 2x2 - x3 x3' = 2x1 + x2 - x3 , e , estão relacionadas pelas seguintes derivadas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação para resolver sistemas de equações diferenciais. Basicamente, vamos manipular as equações para eliminar uma das variáveis e facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais organizada, para facilitar o trabalho:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos tentar eliminar x1' = x1 - x2 + 4x3 Rightarrow x1' - x1 = -x2 + 4x3 . Para isso, vamos expressar a partir da equação (1):
Passo 4
Agora, precisamos de uma relação que envolva x2' = 3x1 + 2x2 - x3 . Vamos usar a equação (2) para isso. Vamos substituir x2' = 3 (x1' + x2 - 4x31) + 2x2 - x3 da equação (1) na equação (2):
Agora, temos uma relação entre x3' = 2x1 + x2 - x3 (3) e . Vamos usar a equação (3) para relacionar :
Podemos tentar expressar uma das derivadas em termos das outras variáveis.
Passo 10
Para simplificar, vamos assumir soluções da forma lambda v = A v , onde A = 1 & -1 & 4 3 & 2 & -1 2 & 1 & -1 é um vetor próprio e é o valor próprio. Substituindo na equação diferencial, obtemos o sistema:
Onde é a matriz dos coeficientes do sistema:
Passo 11
Para encontrar os valores próprios det(A - lambda I) = 0 , resolvemos o determinante:
Continuando a simplificação, encontramos os valores de .
Passo 13
Após resolver o polinômio característico, obtemos os valores próprios. Supondo que temos três valores reais distintos, podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear das soluções individuais correspondentes a cada valor próprio.
Passo 14
Finalmente, combinamos todas as soluções individuais para obter a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Resposta
A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes aos valores próprios encontrados, da forma:
x(t) = C1 v1 e^lambda1 t + C2 v2 e^lambda2 t + C3 v3 e^lambda3 t
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais, são os valores próprios e são os vetores próprios correspondentes.