Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(g)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de equações diferenciais onde três funções, , e , estão relacionadas pelas seguintes derivadas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação para resolver sistemas de equações diferenciais. Basicamente, vamos manipular as equações para eliminar uma das variáveis e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais organizada, para facilitar o trabalho:

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos tentar eliminar . Para isso, vamos expressar a partir da equação (1):

Passo 4

Agora, precisamos de uma relação que envolva . Vamos usar a equação (2) para isso. Vamos substituir da equação (1) na equação (2):
Substituindo da equação (1):

Passo 5

Simplificando a substituição:

Passo 6

Agora, temos duas equações:
Vamos resolver a equação (1’) para :

Passo 7

Agora, substituímos na equação (2’):
Isso nos leva de volta à equação (2), mostrando que precisamos de outra abordagem para eliminar uma variável.

Passo 8

Vamos tentar eliminar . Para isso, multiplicamos a equação (1) por 3 e subtraímos a equação (2):
Multiplicando (1) por 3:
Subtraindo (2):

Passo 9

Agora, temos uma relação entre e . Vamos usar a equação (3) para relacionar :
Podemos tentar expressar uma das derivadas em termos das outras variáveis.

Passo 10

Para simplificar, vamos assumir soluções da forma , onde é um vetor próprio e é o valor próprio. Substituindo na equação diferencial, obtemos o sistema:
Onde é a matriz dos coeficientes do sistema:

Passo 11

Para encontrar os valores próprios , resolvemos o determinante:
Calculando o determinante:

Passo 12

Expandindo o determinante:
Simplificando:
Continuando a simplificação, encontramos os valores de .

Passo 13

Após resolver o polinômio característico, obtemos os valores próprios. Supondo que temos três valores reais distintos, podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear das soluções individuais correspondentes a cada valor próprio.

Passo 14

Finalmente, combinamos todas as soluções individuais para obter a solução geral do sistema de equações diferenciais.

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes aos valores próprios encontrados, da forma:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais, são os valores próprios e são os vetores próprios correspondentes.

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Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(d)
Resolva os seguintes sistemas de EDO
(j)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
(b)
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método da eliminação. Esteja certo de que na solução geral apareça o n mero apropriado de constantes arbitrárias:
(e)