Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais pelo método de eliminação:
(g) lx1^prime=x1-x2+4 x3 x2^prime=3 x1+2 x2-x3 x3^prime=2 x1+x2-x3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um sistema de equações diferenciais onde três funções, x1' = x1 - x2 + 4x3 x2' = 3x1 + 2x2 - x3 x3' = 2x1 + x2 - x3 , e , estão relacionadas pelas seguintes derivadas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o método de eliminação para resolver sistemas de equações diferenciais. Basicamente, vamos manipular as equações para eliminar uma das variáveis e facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de uma forma mais organizada, para facilitar o trabalho:
x1' = x1 - x2 + 4x3 (1) x2' = 3x1 + 2x2 - x3 (2) x3' = 2x1 + x2 - x3 (3)

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos tentar eliminar x1' = x1 - x2 + 4x3 Rightarrow x1' - x1 = -x2 + 4x3 . Para isso, vamos expressar a partir da equação (1):

Passo 4

Agora, precisamos de uma relação que envolva x2' = 3x1 + 2x2 - x3 . Vamos usar a equação (2) para isso. Vamos substituir x2' = 3 (x1' + x2 - 4x31) + 2x2 - x3 da equação (1) na equação (2):
Substituindo da equação (1):

Passo 5

Simplificando a substituição:
x2' = 3x1' + 3x2 - 12x3 + 2x2 - x3 x2' = 3x1' + 5x2 - 13x3

Passo 6

Agora, temos duas equações:
x1' - x1 = -x2 + 4x3 (1') x2' = 3x1' + 5x2 - 13x3 (2')
Vamos resolver a equação (1’) para x1' - x1 = -x2 + 4x3 Rightarrow x1' = x1 - x2 + 4x3 :

Passo 7

Agora, substituímos x2' = 3(x1 - x2 + 4x3) + 5x2 - 13x3 x2' = 3x1 - 3x2 + 12x3 + 5x2 - 13x3 x2' = 3x1 + 2x2 - x3 na equação (2’):
Isso nos leva de volta à equação (2), mostrando que precisamos de outra abordagem para eliminar uma variável.

Passo 8

Vamos tentar eliminar 3x1' = 3x1 - 3x2 + 12x3 . Para isso, multiplicamos a equação (1) por 3 e subtraímos a equação (2):
Multiplicando (1) por 3:
3x1' - x2' = 3x1 - 3x2 + 12x3 - (3x1 + 2x2 - x3) 3x1' - x2' = -5x2 + 13x3
Subtraindo (2):

Passo 9

Agora, temos uma relação entre x3' = 2x1 + x2 - x3 (3) e . Vamos usar a equação (3) para relacionar :
Podemos tentar expressar uma das derivadas em termos das outras variáveis.

Passo 10

Para simplificar, vamos assumir soluções da forma lambda v = A v , onde A = 1 & -1 & 4 3 & 2 & -1 2 & 1 & -1 é um vetor próprio e é o valor próprio. Substituindo na equação diferencial, obtemos o sistema:
Onde é a matriz dos coeficientes do sistema:

Passo 11

Para encontrar os valores próprios det(A - lambda I) = 0 , resolvemos o determinante:
1-lambda & -1 & 4 3 & 2-lambda & -1 2 & 1 & -1-lambda = 0
Calculando o determinante:

Passo 12

Expandindo o determinante:
(1-lambda)[(2-lambda)(-1-lambda) - (-1)(1)] - (-1)[3(-1-lambda) - (-1)(2)] + 4[3(1) - (2-lambda)(2)] = 0
Simplificando:
(1-lambda)[(2-lambda)(-1-lambda) +1] + [3(1+lambda) +2] +4[3 -2(2-lambda)] =0
Continuando a simplificação, encontramos os valores de .

Passo 13

Após resolver o polinômio característico, obtemos os valores próprios. Supondo que temos três valores reais distintos, podemos escrever a solução geral do sistema como uma combinação linear das soluções individuais correspondentes a cada valor próprio.

Passo 14

Finalmente, combinamos todas as soluções individuais para obter a solução geral do sistema de equações diferenciais.

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes aos valores próprios encontrados, da forma:
x(t) = C1 v1 e^lambda1 t + C2 v2 e^lambda2 t + C3 v3 e^lambda3 t
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais, são os valores próprios e são os vetores próprios correspondentes.

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