Seja A=[rrr4 & 1 & -1 2 & 5 & -2 1 & 1 & 2] :
A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base de R^3 formada por autovetores e construa a matriz de A em relação à esta base.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificarmos se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de composta por autovetores de e, a partir dessa base, construir a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de A - lambda I = 4 - lambda & 1 & -1 2 & 5 - lambda & -2 1 & 1 & 2 - lambda que satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = (4 - lambda)[(5 - lambda)(2 - lambda) - (-2)(1)] - 1[2(2 - lambda) - (-2)(1)] -1[2(1) - (5 - lambda)(1)]
Aqui, lambda1 = 3, lambda2 = 4, lambda3 = 2 é a matriz identidade. Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando isso, obtemos o polinômio característico. Após os cálculos, encontramos os autovalores:

Passo 3

Agora, para cada autovalor A - 3I = 1 & 1 & -1 2 & 2 & -2 1 & 1 & -1 , vamos encontrar os autovetores que correspondem a ele. Isso significa resolver o sistema 1 -1 0 para cada A - 4I = 0 & 1 & -1 2 & 1 & -2 1 & 1 & -2 .
Para 1 -2 1 :
A - 2I = 2 & 1 & -1 2 & 3 & -2 1 & 1 & 0
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores são múltiplos de 1 -1 1 .
Para :
Resolvendo, obtemos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .

Passo 4

Agora que temos três autovalores distintos ( , , ) e para cada um deles um autovetor não nulo, podemos concluir que os autovetores são linearmente independentes. Isso significa que é diagonalizável, pois temos uma base de formada por autovetores de .

Passo 5

Vamos então formar a base de B = 1 -1 0 , 1 -2 1 , 1 -1 1 composta pelos autovetores que encontramos:

Passo 6

Por fim, vamos construir a matriz diagonal de [A]B = 3 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 2 em relação a essa base. Nessa base, a matriz de será uma matriz diagonal cujas entradas na diagonal são os autovalores correspondentes:

Resposta

Sim, a matriz B = 1 -1 0 , 1 -2 1 , 1 -1 1 é diagonalizável. Uma base de [A]B = 3 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 2 formada por autovetores de é:
A matriz de em relação a essa base é a matriz diagonal:

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