Seja :
A é diagonalizável? Em caso afirmativo, encontre uma base de R^3 formada por autovetores e construa a matriz de A em relação à esta base.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para verificarmos se a matriz é diagonalizável. Se for, precisamos encontrar uma base de composta por autovetores de e, a partir dessa base, construir a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores, autovetores e diagonalização de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Os autovalores são valores de A - lambda I = 4 - lambda & 1 & -1 2 & 5 - lambda & -2 1 & 1 & 2 - lambda que satisfazem a equação característica:
Aqui, lambda1 = 3, lambda2 = 4, lambda3 = 2 é a matriz identidade. Vamos calcular :
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Simplificando isso, obtemos o polinômio característico. Após os cálculos, encontramos os autovalores:
Passo 3
Agora, para cada autovalor A - 3I = 1 & 1 & -1 2 & 2 & -2 1 & 1 & -1 , vamos encontrar os autovetores que correspondem a ele. Isso significa resolver o sistema 1 -1 0 para cada A - 4I = 0 & 1 & -1 2 & 1 & -2 1 & 1 & -2 .
Para 1 -2 1 :
A - 2I = 2 & 1 & -1 2 & 3 & -2 1 & 1 & 0
Resolvendo o sistema, encontramos que os autovetores são múltiplos de 1 -1 1 .
Para :
Resolvendo, obtemos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Passo 4
Agora que temos três autovalores distintos (, , ) e para cada um deles um autovetor não nulo, podemos concluir que os autovetores são linearmente independentes. Isso significa que é diagonalizável, pois temos uma base de formada por autovetores de .
Passo 5
Vamos então formar a base de B = 1 -1 0 , 1 -2 1 , 1 -1 1 composta pelos autovetores que encontramos:
Passo 6
Por fim, vamos construir a matriz diagonal de [A]B = 3 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 2 em relação a essa base. Nessa base, a matriz de será uma matriz diagonal cujas entradas na diagonal são os autovalores correspondentes:
Resposta
Sim, a matriz B = 1 -1 0 , 1 -2 1 , 1 -1 1 é diagonalizável. Uma base de [A]B = 3 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 2 formada por autovetores de é:
A matriz de em relação a essa base é a matriz diagonal: