Resolva o sistema de equações diferenciais usando o método de operadores diferenciais lineares e encontre as soluções homogênea e particular :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais. Isso significa que temos duas equações que envolvem derivadas das funções e em relação ao tempo . Nosso objetivo é encontrar as soluções para e que satisfazem essas equações. Vamos usar o método de operadores diferenciais lineares, que é uma técnica que facilita resolver esse tipo de sistema. Precisamos entender as derivadas e como manipulá-las usando operadores para chegar nas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações para deixar mais claro:
Aqui, temos derivadas de até a segunda ordem e derivadas de de primeira ordem. Vamos usar operadores diferenciais para transformar essas equações em algo mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos introduzir o operador diferencial , onde . Com esse operador, podemos reescrever as equações:
Isso nos ajuda a manipular as equações de forma mais algebraica, como se estivéssemos trabalhando com números em vez de funções.

Passo 4

Nosso objetivo é isolar ou de uma das equações para substituir na outra. Vamos começar com a primeira equação:
Vamos resolver para :
Agora, temos em termos de e sua derivada. Vamos usar isso na segunda equação.

Passo 5

Substituindo na segunda equação:
Sabemos que , então substituímos:
Vamos agora expandir e simplificar essa expressão.

Passo 6

Expandindo a expressão:
Agora, simplificamos os termos semelhantes:
  • e se cancelam.
  • e também se cancelam.
  • Os termos com somam .
Ficamos com:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Sabemos que , então substituímos:
Os termos se cancelam, deixando:

Passo 8

Agora que encontramos , podemos substituir de volta na expressão que encontramos para :
Primeiro, calculamos :
Agora, substituímos:
Podemos escrever isso de forma simplificada:

Resposta

As soluções do sistema são:
e

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ã
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa: éçã
Enumerativa: