Resolva o sistema de equações diferenciais usando o método de operadores diferenciais lineares e encontre as soluções homogênea e particular :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações diferenciais. Isso significa que temos duas equações que envolvem derivadas das funções
e
em relação ao tempo
. Nosso objetivo é encontrar as soluções para
e
que satisfazem essas equações. Vamos usar o método de operadores diferenciais lineares, que é uma técnica que facilita resolver esse tipo de sistema. Precisamos entender as derivadas e como manipulá-las usando operadores para chegar nas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações para deixar mais claro:
Aqui, temos derivadas de
até a segunda ordem e derivadas de
de primeira ordem. Vamos usar operadores diferenciais para transformar essas equações em algo mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos introduzir o operador diferencial
, onde
. Com esse operador, podemos reescrever as equações:
Isso nos ajuda a manipular as equações de forma mais algebraica, como se estivéssemos trabalhando com números em vez de funções.
Passo 4
Nosso objetivo é isolar
ou
de uma das equações para substituir na outra. Vamos começar com a primeira equação:
Vamos resolver para
:
Agora, temos
em termos de
e sua derivada. Vamos usar isso na segunda equação.
Passo 5
Substituindo
na segunda equação:
Sabemos que
, então substituímos:
Vamos agora expandir e simplificar essa expressão.
Passo 6
Expandindo a expressão:
Agora, simplificamos os termos semelhantes:
-
e se cancelam. -
e também se cancelam. - Os termos com
somam .
Ficamos com:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação:
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Sabemos que
, então substituímos:
Os termos
se cancelam, deixando:
Passo 8
Agora que encontramos
, podemos substituir de volta na expressão que encontramos para
:
Primeiro, calculamos
:
Agora, substituímos:
Podemos escrever isso de forma simplificada:
Resposta
As soluções do sistema são:
e
Exercícios relacionados
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
Resolva os seguintes sistemas de equações diferenciais:
Descreva os conjuntos abaixo na forma predicativa (atenção, as respostas ao final da lista não são as únicas possíveis):
Identifique em qual formato cada conjunto abaixo está descrito e descreva-os nos outros dois formatos:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa:
Formatos: Predicativa:
Enumerativa: