Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função é denotada por .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace a cada termo:
Sabemos que:

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação:
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar os termos:
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Observamos que o denominador é igual a , então:
Podemos simplificar ainda mais, mas para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos dividir os termos:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo para encontrar :
Após calcular cada inversa, a solução geral é:

Resposta

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Nos seguintes problemas use a definição para calcular
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais fazendo o uso da transformada de Laplace: