Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma função
é denotada por
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace a cada termo:
Sabemos que:
Passo 4
Substituindo essas transformadas na equação:
Sabemos que
e
, então substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar os termos:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Observamos que o denominador
é igual a
, então:
Podemos simplificar ainda mais, mas para facilitar a inversão da Transformada de Laplace, vamos dividir os termos:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace a cada termo para encontrar
:
Após calcular cada inversa, a solução geral é:
Resposta
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