Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que envolve duas funções,
e
. O que temos aqui são duas equações de segunda ordem que estão interligadas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas de equações diferenciais lineares e como desacoplá-las para resolver cada equação separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever novamente o sistema para facilitar:
Nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Observando as duas equações, perceba que ambas têm termos semelhantes. Podemos somar as duas equações para facilitar.
Somando as duas equações:
Isso pode ser reescrito como:
Vamos chamar
, assim temos:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação linear não homogênea. Para resolver, encontramos a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 5
Primeiro, resolveremos a equação homogênea:
A equação característica é:
Então, a solução geral da homogênea é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, supomos que a solução particular tem a forma:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Derivamos
para substituir na equação:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral para
é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Precisamos agora encontrar outra equação para resolver
e
individualmente. Podemos subtrair as duas equações diferenciais originais para obter essa relação.
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Isso pode ser reescrito como:
Chamando
, temos:
Passo 10
Essa é uma equação diferencial homogênea com solução de harmônica simples. A solução geral é:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 11
Agora, temos:
E anteriormente:
Podemos resolver esse sistema para
e
somando e subtraindo as equações.
Passo 12
Somando as duas equações:
Assim:
Passo 13
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Assim:
Resposta
As soluç��es gerais para o sistema de equações diferenciais são:
Onde
e
são constantes de integração.