Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi dado. O enunciado nos pede para encontrar as funções e que satisfazem as equações:
com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de maneira matricial para facilitar a resolução. Podemos representar as equações como:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) dessa matriz . Para isso, calculamos o determinante da matriz igual a zero:
Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor repetido: .
Passo 5
Com o autovalor , vamos encontrar os autovetores. Resolvemos :
Da primeira equação: → .
Então, um autovetor é .
Passo 6
Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar uma solução geral que inclui uma solução adicional devido à multiplicidade do autovalor. A solução geral para sistemas com autovalores repetidos é:
Onde e .
Mas para sistemas, precisamos considerar formas adicionais. A solução geral será:
Precisamos encontrar os valores de , , e .
Passo 7
Para encontrar a segunda solução independente, assumimos uma forma , onde é um vetor a ser determinado.
Substituindo na equação diferencial:
Com e .
Então:
Resolvendo:
Da primeira equação: → .
Da segunda equação: .
Substituindo :
→ , que é uma identidade, então podemos escolher , então .