Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que foi dado. O enunciado nos pede para encontrar as funções e que satisfazem as equações:
com as condições iniciais e .
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de resolução de sistemas lineares de equações diferenciais de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de maneira matricial para facilitar a resolução. Podemos representar as equações como:
Aqui, a matriz dos coeficientes é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) dessa matriz . Para isso, calculamos o determinante da matriz igual a zero:
Calculando o determinante:
Desenvolvendo:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos um autovalor repetido: .

Passo 5

Com o autovalor , vamos encontrar os autovetores. Resolvemos :
Da primeira equação: .
Então, um autovetor é .

Passo 6

Como temos um autovalor repetido, precisamos encontrar uma solução geral que inclui uma solução adicional devido à multiplicidade do autovalor. A solução geral para sistemas com autovalores repetidos é:
Onde e .
Mas para sistemas, precisamos considerar formas adicionais. A solução geral será:
Precisamos encontrar os valores de , , e .

Passo 7

Para encontrar a segunda solução independente, assumimos uma forma , onde é um vetor a ser determinado.
Substituindo na equação diferencial:
Com e .
Então:
Resolvendo:
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Substituindo :
, que é uma identidade, então podemos escolher , então .
Então, .

Passo 8

Agora, temos a solução geral:
Desenvolvendo:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais e :
Para :
Para :
Então, .

Passo 10

Substituindo os valores de e na solução geral:
Simplificando:

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Resolva as seguintes sistemas de equações diferenciais:
Para cada uma das funções abaixo, determine tal que