Beleza, vamos resolver esse sistema linear representado pela matriz aumentada:
[llll a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b ]
Aqui, estamos lidando com sistemas de equações lineares. Para descobrir para quais valores de e o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos usar eliminação de Gauss para simplificar a matriz e analisar as condições.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a matriz para facilitar a eliminação. A matriz aumentada representa o seguinte sistema:
a x1 + 0 x2 + b x3 = 2 a x1 + a x2 + 4 x3 = 4 0 x1 + a x2 + 2 x3 = b
Nosso objetivo é transformar essa matriz em forma triangular para facilitar a resolução.
Passo 3
Vamos começar eliminando o (a x1 + a x2 + 4 x3) - (a x1 + 0 x2 + b x3) &= 4 - 2 0 x1 + a x2 + (4 - b) x3 &= 2 da segunda equação. Subtraímos a primeira equação da segunda:
[llll a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & a & 2 & b ]
Agora, a matriz fica assim:
Passo 4
Em seguida, queremos eliminar o (0 x1 + a x2 + 2 x3) - (0 x1 + a x2 + (4 - b) x3) &= b - 2 0 x1 + 0 x2 + (2 - (4 - b)) x3 &= b - 2 0 x1 + 0 x2 + (b - 2) x3 &= b - 2 da terceira equação. Subtraímos a segunda equação da terceira:
[llll a & 0 & b & 2 0 & a & 4 - b & 2 0 & 0 & b - 2 & b - 2 ]
Então, a matriz fica:
Passo 5
Agora, observamos a última linha da matriz:
0 x1 + 0 x2 + (b - 2) x3 = b - 2
Vamos analisar os possíveis casos com base nos valores de :
Se :
A equação se simplifica para .
Podemos resolver as outras variáveis de forma única.
Se :
A equação se torna , o que não impõe restrições adicionais.
Precisamos verificar as equações anteriores para ver se há dependências ou inconsistências.
Passo 6
Vamos tratar cada caso separadamente.
Caso 1:
Equação da última linha:
Segunda linha:
Primeira linha:
Aqui, temos uma solução única desde que .
Caso 2:
Última linha: (sem informação)
Segunda linha:
Primeira linha:
Agora, temos duas equações com três incógnitas (). Isso indica que teremos infinitas soluções, dependendo de um parâmetro.
(d) Nenhuma solução ocorreria se houvesse uma contradição, como uma equação do tipo algo diferente de zero. No nosso caso, isso não acontece, então não há valores de e que façam o sistema não ter solução.
Resposta
(a) O sistema tem uma única solução para todos os valores de e onde e .
(b) O sistema tem soluções dependentes de um parâmetro quando e .