Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(b) (A-B)^2=(B-A)^2 deve ser verdadeiro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar se a expressão é igual a para duas matrizes e de ordem . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes, especialmente sobre a comutatividade da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa elevar uma matriz ao quadrado. Quando temos (A - B)^2 = (A - B)(A - B) , isso significa multiplicar a matriz (B - A)^2 = (B - A)(B - A) por ela mesma:
Da mesma forma:

Passo 3

Agora, vamos expandir ambas as expressões usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes:
Para (A - B)(A - B) = A cdot A - A cdot B - B cdot A + B cdot B = A^2 - AB - BA + B^2 :
(B - A)(B - A) = B cdot B - B cdot A - A cdot B + A cdot A = B^2 - BA - AB + A^2
Para :

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
A^2 - AB - BA + B^2 e B^2 - BA - AB + A^2
Observamos que elas são iguais, já que a soma e a subtração de matrizes são comutativas. Então, podemos reescrever a segunda expressão:
B^2 - BA - AB + A^2 = A^2 - AB - BA + B^2
Isso mostra que é realmente igual a .

Resposta

A afirmação é verdadeira. Para quaisquer matrizes e de ordem , é igual a .

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(d) (I+2 A)^-1=[rr-1 & 2 4 & 5]
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(a)
x1+x2=2
5 x1+6 x2=9
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[lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa.