Sejam
e
matrizes
. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(b)
deve ser verdadeiro.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar se a expressão
é igual a
para duas matrizes
e
de ordem
. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de matrizes, especialmente sobre a comutatividade da multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa elevar uma matriz ao quadrado. Quando temos
, isso significa multiplicar a matriz
por ela mesma:
Da mesma forma:
Passo 3
Agora, vamos expandir ambas as expressões usando a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Observamos que elas são iguais, já que a soma e a subtração de matrizes são comutativas. Então, podemos reescrever a segunda expressão:
Isso mostra que
é realmente igual a
.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Para quaisquer matrizes
e
de ordem
,
é igual a
.