Seja
um espaço vetorial sobre
. Mostre que Se
e
satisfaz
, então
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial
sobre os números reais
. A gente precisa mostrar que se
é um número real e
é um vetor em
tal que
(onde
é o vetor nulo em
), então ou
é zero ou
é o vetor nulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de espaços vetoriais e propriedades dos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial, multiplicar um vetor por um escalar
significa “esticá-lo” ou “encolhê-lo” dependendo do valor de
. Se
, qualquer vetor multiplicado por zero resulta no vetor nulo
.
Passo 3
Agora, suponha que
. Queremos mostrar que isso só é possível se
ou
. Vamos analisar as duas possibilidades.
Passo 4
Primeira possibilidade: se
, então
é verdadeiro para qualquer vetor
. Isso satisfaz a condição do exercício.
Passo 5
Segunda possibilidade: se
, queremos ver o que acontece com
. Se
não é zero, podemos “dividir” ambos os lados da equação
por
, o que nos dá
. Isso significa que o vetor
deve ser o vetor nulo.
Passo 6
Portanto, concluímos que se
, então ou
ou
. Não há outra possibilidade que satisfaça a equação além dessas duas.
Resposta
Logo, mostramos que se
em um espaço vetorial sobre
, então necessariamente
ou
.
Exercícios relacionados
Dado o sistema linear
.
a) Verifique que o par é solução do sistema linear
.
a) Verifique que o par
Dado o sistema linear
.
b) Verifique que o par , não é solução deste sistema
.
b) Verifique que o par
Seja
um espaço vetorial sobre
. Mostre que Para todo
, tem-se
, onde 0 é o vetor nulo de
;
Resolva os seguintes sistemas lineares.
f)
f)