Seja V um espaço vetorial sobre R. Mostre que Se lambda in R e v in V satisfaz lambda v=0, então lambda=0 ou v=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício tá pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais . A gente precisa mostrar que se é um número real e é um vetor em tal que (onde é o vetor nulo em ), então ou é zero ou é o vetor nulo. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de espaços vetoriais e propriedades dos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um espaço vetorial, multiplicar um vetor por um escalar significa “esticá-lo” ou “encolhê-lo” dependendo do valor de . Se , qualquer vetor multiplicado por zero resulta no vetor nulo .

Passo 3

Agora, suponha que . Queremos mostrar que isso só é possível se ou . Vamos analisar as duas possibilidades.

Passo 4

Primeira possibilidade: se , então é verdadeiro para qualquer vetor . Isso satisfaz a condição do exercício.

Passo 5

Segunda possibilidade: se , queremos ver o que acontece com . Se não é zero, podemos “dividir” ambos os lados da equação por , o que nos dá . Isso significa que o vetor deve ser o vetor nulo.

Passo 6

Portanto, concluímos que se , então ou ou . Não há outra possibilidade que satisfaça a equação além dessas duas.

Resposta

Logo, mostramos que se em um espaço vetorial sobre , então necessariamente ou .

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