Seja um espaço vetorial sobre . Mostre que Para todo , tem-se , onde 0 é o vetor nulo de ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial sobre os números reais . A pergunta quer que a gente mostre que, para qualquer número real , o produto desse número pelo vetor nulo resulta novamente no vetor nulo. Para resolver isso, vamos precisar lembrar das propriedades dos espaços vetoriais, especialmente aquelas envolvendo o vetor nulo e a multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o vetor nulo. Em um espaço vetorial, o vetor nulo é aquele que, quando somado a qualquer vetor de , não altera . Ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos olhar para a propriedade da multiplicação por escalar. Uma das propriedades dos espaços vetoriais diz que para qualquer escalar e vetor , temos:
onde é outro escalar.
Passo 4
Vamos aplicar essa propriedade com (o vetor nulo) e . Assim, temos:
Simplificando, fica:
Isso implica que , o que confirma que não muda nada, ou seja, é igual ao vetor nulo.