Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o método de escalonamento de Gauss 2 x+y+2 z-w & =12 -x+y+3 z+2 w & =1 x+3 z & =7 -2 x-y+5 z-w & =-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de escalonamento de Gauss. Esse método ajuda a organizar as equações de forma que a gente consiga encontrar as variáveis passo a passo. Para isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada e fazer umas operações nela até simplificar tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita visualizar e manipular as equações.
2 & 1 & 2 & -1 & | & 12 -1 & 1 & 3 & 2 & | & 1 1 & 0 & 3 & 0 & | & 7 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -5

Passo 3

Agora, queremos ter um 1 na posição (1,1) para facilitar os cálculos. Podemos dividir a primeira linha por 2:
R1 = R12 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 -1 & 1 & 3 & 2 & | & 1 1 & 0 & 3 & 0 & | & 7 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -5

Passo 4

Vamos eliminar o x das outras linhas. Para isso:
  • Adicione a primeira linha à segunda linha:
R2 = R2 + R1 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1.5 & 4 & 1.5 & | & 7 1 & 0 & 3 & 0 & | & 7 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -5
  • Subtraia a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - R1 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1.5 & 4 & 1.5 & | & 7 0 & -0.5 & 2 & 0.5 & | & 1 -2 & -1 & 5 & -1 & | & -5
  • Adicione duas vezes a primeira linha à quarta linha:
R4 = R4 + 2R1 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1.5 & 4 & 1.5 & | & 7 0 & -0.5 & 2 & 0.5 & | & 1 0 & 0 & 7 & -2 & | & 7

Passo 5

Agora, queremos ter um 1 na posição (2,2). Vamos dividir a segunda linha por 1.5:
R2 = R21.5 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1 & 83 & 1 & | & 143 0 & -0.5 & 2 & 0.5 & | & 1 0 & 0 & 7 & -2 & | & 7

Passo 6

Vamos eliminar o y da terceira linha usando a segunda linha. Para isso, multiplique a segunda linha por 0.5 e adicione à terceira linha:
R3 = R3 + 0.5R2 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1 & 83 & 1 & | & 143 0 & 0 & 223 & 1 & | & 173 0 & 0 & 7 & -2 & | & 7

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja 1. Para isso, multiplicamos a terceira linha por R3 = 322R3 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1 & 83 & 1 & | & 143 0 & 0 & 1 & 322 & | & 1722 0 & 0 & 7 & -2 & | & 7 :

Passo 8

Vamos eliminar o z da quarta linha usando a terceira linha. Multiplique a terceira linha por 7 e subtraia da quarta linha:
R4 = R4 - 7R3 Rightarrow 1 & 0.5 & 1 & -0.5 & | & 6 0 & 1 & 83 & 1 & | & 143 0 & 0 & 1 & 322 & | & 1722 0 & 0 & 0 & -1622 & | & 1122
Simplificando a quarta linha:
0 & 0 & 0 & -811 & | & 1122

Passo 9

Agora, vamos simplificar a quarta linha para encontrar w:
-811w = 1122 Rightarrow w = 1122 div -811 = 1122 times -118 = -121176 = -1116

Passo 10

Com o valor de w encontrado, vamos para cima e encontrar z usando a terceira linha:
z + 322w = 1722 z + 322 times -1116 = 1722 z - 33352 = 1722 z = 1722 + 33352 = 272352 + 33352 = 305352 = 305352
Simplificando:
z = 305352 approx 0.867

Passo 11

Agora, vamos encontrar y usando a segunda linha:
y + 83z + w = 143 y + 83 times 305352 - 1116 = 143 y + 24401056 - 1116 = 143 y + 305132 - 3348 = 143 y = 143 - 305132 + 3348 y approx 22448 - 11548 + 3348 = 14248 = 7124 approx 2.958

Passo 12

Por fim, vamos encontrar x usando a primeira linha:
x + 0.5y + z - 0.5w = 6 x + 0.5 times 7124 + 305352 - 0.5 times -1116 = 6 x + 7148 + 305352 + 1132 = 6 x = 6 - 7148 - 305352 - 1132 x approx 6 - 1.479 - 0.867 - 0.344 = 3.31

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
x approx 3.31, y approx 2.958, z approx 0.867, w approx -0.687

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