Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl
l4 y+z=20 2 x-2 y+z=0 x+z=5 x+y-z=10

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de escalonamento de matrizes equivalentes ao sistema de Gauss-Jordan. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares nas linhas e descobrir os valores de , e . Depois, vamos classificar o sistema como determinado, indeterminado ou impossível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial aumentada. Isso significa que vamos colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma matriz. Nosso sistema é:
4y + z = 20 2x - 2y + z = 0 x + z = 5 x + y - z = 10
A matriz aumentada fica assim:
0 & 4 & 1 & | & 20 2 & -2 & 1 & | & 0 1 & 0 & 1 & | & 5 1 & 1 & -1 & | & 10

Passo 3

Vamos começar pelo elemento 1 & 0 & 1 & | & 5 2 & -2 & 1 & | & 0 0 & 4 & 1 & | & 20 1 & 1 & -1 & | & 10 . Idealmente, queremos que ele seja 1 para facilitar os cálculos. Se não for, podemos trocar linhas ou multiplicar por um fator. Neste caso, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha para trazer um 1 para o :

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do R2' = R2 - 2R1 2 - 2(1) = 0 -2 - 2(0) = -2 1 - 2(1) = -1 0 - 2(5) = -10 (primeiro elemento da primeira linha). Para isso, vamos:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Deixar a terceira linha como está, pois já tem 0 na primeira coluna.
  • Subtrair a primeira linha da quarta linha.
Fazendo isso:
Para a segunda linha:
R4' = R4 - R1 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 -1 - 1 = -2 10 - 5 = 5
Para a quarta linha:
1 & 0 & 1 & | & 5 0 & -2 & -1 & | & -10 0 & 4 & 1 & | & 20 0 & 1 & -2 & | & 5
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento R2' = -12 R2 0 times -12 = 0 -2 times -12 = 1 -1 times -12 = 0.5 -10 times -12 = 5 seja 1. Como atualmente é -2, podemos multiplicar a segunda linha por 1 & 0 & 1 & | & 5 0 & 1 & 0.5 & | & 5 0 & 4 & 1 & | & 20 0 & 1 & -2 & | & 5 :
A matriz agora fica:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de 0 - 4(0) = 0 4 - 4(1) = 0 1 - 4(0.5) = 1 - 2 = -1 20 - 4(5) = 20 - 20 = 0 . Para isso:
  • Para a terceira linha: 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 -2 - 0.5 = -2.5 5 - 5 = 0
  • Para a quarta linha: 1 & 0 & 1 & | & 5 0 & 1 & 0.5 & | & 5 0 & 0 & -1 & | & 0 0 & 0 & -2.5 & | & 0
Calculando:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Vamos tornar o elemento R3' = -1 times R3 0 times -1 = 0 0 times -1 = 0 -1 times -1 = 1 0 times -1 = 0 igual a 1 multiplicando a terceira linha por 1 & 0 & 1 & | & 5 0 & 1 & 0.5 & | & 5 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & -2.5 & | & 0 :
A matriz se transforma em:

Passo 8

Finalmente, vamos eliminar os elementos acima de 1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 5 - 0 = 5 :
  • Para a primeira linha: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 0.5 - 0.5(1) = 0 5 - 0.5(0) = 5
  • Para a segunda linha: 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 -2.5 + 2.5(1) = 0 0 + 2.5(0) = 0
  • Para a quarta linha: 1 & 0 & 0 & | & 5 0 & 1 & 0 & | & 5 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0
Calculando:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Para a quarta linha:
A matriz final fica:

Resposta

A solução do sistema é:
x = 5 y = 5 z = 0
O sistema é determinado, pois possui uma única solução.

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