Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é resolver esse sistema usando o método de escalonamento de matrizes equivalentes ao sistema de Gauss-Jordan. Vamos precisar montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares nas linhas e descobrir os valores de , e . Depois, vamos classificar o sistema como determinado, indeterminado ou impossível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial aumentada. Isso significa que vamos colocar os coeficientes das incógnitas e os termos constantes em uma matriz. Nosso sistema é:
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Vamos começar pelo elemento . Idealmente, queremos que ele seja 1 para facilitar os cálculos. Se não for, podemos trocar linhas ou multiplicar por um fator. Neste caso, vamos trocar a primeira linha com a terceira linha para trazer um 1 para o :

Passo 4

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do (primeiro elemento da primeira linha). Para isso, vamos:
  • Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha.
  • Deixar a terceira linha como está, pois já tem 0 na primeira coluna.
  • Subtrair a primeira linha da quarta linha.
Fazendo isso:
Para a segunda linha:
Para a quarta linha:
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o elemento seja 1. Como atualmente é -2, podemos multiplicar a segunda linha por :
A matriz agora fica:

Passo 6

Vamos eliminar os elementos acima e abaixo de . Para isso:
  • Para a terceira linha:
  • Para a quarta linha:
Calculando:
Para a terceira linha:
Para a quarta linha:
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos trabalhar com a terceira coluna. Vamos tornar o elemento igual a 1 multiplicando a terceira linha por :
A matriz se transforma em:

Passo 8

Finalmente, vamos eliminar os elementos acima de :
  • Para a primeira linha:
  • Para a segunda linha:
  • Para a quarta linha:
Calculando:
Para a primeira linha:
Para a segunda linha:
Para a quarta linha:
A matriz final fica:

Resposta

A solução do sistema é:
O sistema é determinado, pois possui uma única solução.

Exercícios relacionados

Seja e consideremos a base
(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.
Verifique se a aplicação dada por é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.
Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl
Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl