Seja
um espaço vetorial real munido de um produto interno
.
Definimos a função
dada por
denominada por distância do vetor
ao vetor
.
Com relação ao produto interno usual em
, calcule a distância entre os vetores
e
.
Definimos a função
Com relação ao produto interno usual em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial real com produto interno, e a ideia é calcular a distância entre dois vetores usando essa definição de distância. No caso, estamos trabalhando com o espaço
e o produto interno usual. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre vetores:
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que a gente tem:
A gente precisa encontrar a diferença entre esses vetores, ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
componente por componente:
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular a norma desse vetor, que é a distância entre
e
. A norma é dada por:
Passo 5
Vamos calcular cada quadrado:
Somando esses valores:
Passo 6
Agora, tiramos a raiz quadrada da soma:
Resposta
A distância entre os vetores
e
é
.