Seja (V,+, cdot) um espaço vetorial real munido de um produto interno lang<=cdot, cdotrang<=.
Definimos a função d: V times V R dada por
d(u, v)=|u-v|, u, v in V
denominada por distância do vetor u ao vetor v.
Com relação ao produto interno usual em R^4, calcule a distância entre os vetores u=(1,1,3,2) e v=(2,2,1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um espaço vetorial real com produto interno, e a ideia é calcular a distância entre dois vetores usando essa definição de distância. No caso, estamos trabalhando com o espaço e o produto interno usual. Vamos precisar usar a fórmula da distância entre vetores: .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que a gente tem:
A gente precisa encontrar a diferença entre esses vetores, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular u - v = (1-2,; 1-2,; 3-1,; 2-0) = (-1,; -1,; 2,; 2) componente por componente:

Passo 4

Agora que temos |u - v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 + 2^2 , vamos calcular a norma desse vetor, que é a distância entre e . A norma é dada por:

Passo 5

Vamos calcular cada quadrado:
(-1)^2 = 1,; (-1)^2 = 1,; 2^2 = 4,; 2^2 = 4
Somando esses valores:
1 + 1 + 4 + 4 = 10

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada da soma:
|u - v| = raiz10

Resposta

A distância entre os vetores e é .

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