Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl
lx+3 y+z=0 -x-y=2 -x+y+2 z=8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o método de Gauss-Jordan. Primeiro, vamos entender o que temos aqui. O sistema é:
x + 3y + z = 0 -x - y = 2 -x + y + 2z = 8
Usaremos álgebra linear, especificamente a técnica de escalonamento de matrizes, para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema, que junta os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 3 & 1 & | & 0 -1 & -1 & 0 & | & 2 -1 & 1 & 2 & | & 8

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos facilmente resolver para cada variável. Começamos pela primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), então vamos usar esse elemento para eliminar os coeficientes abaixo dele.

Passo 4

Vamos eliminar o -1 na segunda linha, primeiro elemento. Para isso, adicionamos a primeira linha à segunda:
Linha2 = Linha2 + Linha1
1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 2 & 1 & | & 2 -1 & 1 & 2 & | & 8

Passo 5

Agora, eliminamos o -1 na terceira linha, primeiro elemento. Para isso, adicionamos a primeira linha à terceira:
Linha3 = Linha3 + Linha1
1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 2 & 1 & | & 2 0 & 4 & 3 & | & 8

Passo 6

Vamos focar na segunda coluna. Já temos um 2 na posição (2,2). Vamos usar esse número para eliminar o 4 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 \times Linha2
1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 2 & 1 & | & 2 0 & 0 & 1 & | & 4

Passo 7

Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos resolver de baixo para cima. Começamos pela terceira linha:

Passo 8

Substituímos 0 cdot x + 2y + 1 cdot 4 = 2 2y + 4 = 2 2y = -2 y = -1 na segunda equação:

Passo 9

Finalmente, substituímos x + 3(-1) + 4 = 0 x - 3 + 4 = 0 x + 1 = 0 x = -1 e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é , e . O sistema é determinado, pois possui uma única solução.

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