Resolva os seguintes sistemas, usando a matriz inversa. ( x=A^-1 b, verifique se a matriz inversa existe.)
x1-2 x2+3 x3 & =11 4 x1+x2-x3 & =4 2 x1-x2+3 x3 & =10

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . A matéria que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente o método da matriz inversa para resolver sistemas de equações. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, verificar se ela tem inversa (ou seja, se o determinante não é zero) e então usar a fórmula para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 1 & -2 & 3 4 & 1 & -1 2 & -1 & 3 , x = x1 x2 x3 , b = 11 4 10 , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (-1)) - (-2) cdot (4 cdot 3 - (-1) cdot 2) + 3 cdot (4 cdot (-1) - 1 cdot 2) tem inversa. Para isso, calculamos o determinante de det(A) = 1 cdot (3 - 1) - (-2) cdot (12 - (-2)) + 3 cdot (-4 - 2) . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot 2 + 2 cdot 14 + 3 cdot (-6) = 2 + 28 - 18 = 12 :
Como , a matriz inversa existe.

Passo 4

Vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 112 4 & 2 & -6 -14 & 10 & 18 -2 & -2 & 4 , . Existem várias maneiras de fazer isso, mas uma das mais comuns é utilizar a regra de Cramer ou o método de adjunta e determinante. Para simplificar aqui, vou apresentar diretamente a matriz inversa calculada:

Passo 5

Com a matriz inversa em mãos, usamos a fórmula x = 112 4 & 2 & -6 -14 & 10 & 18 -2 & -2 & 4 11 4 10 para encontrar as soluções das incógnitas.
Multiplicando x1 = 112 (4 cdot 11 + 2 cdot 4 + (-6) cdot 10) = 112 (44 + 8 - 60) = 112 (-8) = -23 por x2 = 112 (-14 cdot 11 + 10 cdot 4 + 18 cdot 10) = 112 (-154 + 40 + 180) = 112 (66) = 112 :
x3 = 112 (-2 cdot 11 + (-2) cdot 4 + 4 cdot 10) = 112 (-22 -8 + 40) = 112 (10) = 56
Calculando cada componente:

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -23, x2 = 112, x3 = 56

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