Resolva os seguintes sistemas, usando a matriz inversa. ( , verifique se a matriz inversa existe.)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e . A matéria que vamos usar aqui é a álgebra linear, especificamente o método da matriz inversa para resolver sistemas de equações. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, verificar se ela tem inversa (ou seja, se o determinante não é zero) e então usar a fórmula para encontrar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot 3 - (-1) cdot (-1)) - (-2) cdot (4 cdot 3 - (-1) cdot 2) + 3 cdot (4 cdot (-1) - 1 cdot 2) tem inversa. Para isso, calculamos o determinante de det(A) = 1 cdot (3 - 1) - (-2) cdot (12 - (-2)) + 3 cdot (-4 - 2) . Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe.
Vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 112 4 & 2 & -6 -14 & 10 & 18 -2 & -2 & 4 , . Existem várias maneiras de fazer isso, mas uma das mais comuns é utilizar a regra de Cramer ou o método de adjunta e determinante. Para simplificar aqui, vou apresentar diretamente a matriz inversa calculada:
Passo 5
Com a matriz inversa em mãos, usamos a fórmula x = 112 4 & 2 & -6 -14 & 10 & 18 -2 & -2 & 4 11 4 10 para encontrar as soluções das incógnitas.