Sejam e subespaços de dimensão finita de um espaço vetorial . Prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar uma relação entre as dimensões de dois subespaços, e , dentro de um espaço vetorial . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como as dimensões dos subespaços se relacionam quando a gente considera a interseção e a soma desses subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a dimensão de um subespaço é basicamente o número de vetores que formam uma base para ele, ou seja, a quantidade mínima de vetores que precisamos para gerar todo o subespaço. Então, se é a dimensão de e é a dimensão de , a gente quer relacionar isso com as dimensões de (a interseção dos dois subespaços) e (a soma dos dois subespaços).
Passo 3
Vamos usar uma propriedade importante da Álgebra Linear que diz:
Essa fórmula nos mostra como a dimensão da soma dos subespaços está relacionada com as dimensões individuais e a dimensão da interseção.
Passo 4
Agora, vamos reorganizar essa equação para chegar na relação que o exercício quer provar. Se a gente somar e , o que obtemos é:
Aqui, movemos para o outro lado da equação.
Passo 5
Isso é exatamente o que o exercício quer mostrar! A gente provou que a soma das dimensões dos subespaços e é igual à soma da dimensão da interseção deles com a dimensão da soma deles. Essa relação é super útil porque nos ajuda a entender como os subespaços se sobrepõem e se combinam dentro de .