Resolva o sistema:
.
Resposta:
a)
b)
c)
d)
c) outro
Resposta:
a)
b)
c)
d)
c) outro
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações:
Aqui, estamos lidando com logaritmos e equações exponenciais. Para resolver esse sistema, vamos usar as propriedades dos logaritmos e manipular as equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a primeira equação usando as propriedades dos logaritmos. Lembre-se que $ a \ln b = \ln b^a $. Aplicando isso:
Agora, podemos reescrever a equação assim:
Passo 3
Para eliminar o logaritmo, usamos a propriedade que $ \ln a = b $ implica $ a = e^b $. Portanto:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos olhar para a segunda equação do sistema:
Temos duas equações:
- $ x^3 y^2 = e^{2} $
- $ x^3 + y^2 = 2e $
Passo 5
Vamos chamar $ x^3 $ de $ a $ e $ y^2 $ de $ b $ para simplificar:
Agora, temos um sistema mais simples com $ a $ e $ b $.
Passo 6
Podemos resolver esse sistema usando substituição. Da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, $ a = e $.
Passo 8
Agora que temos $ a = e $, voltamos para $ b = 2e - a $:
Então, $ b = e $.
Passo 9
Lembrando que:
Resposta
a) $ x = \sqrt[3]{e} ; y = \sqrt{e} $