Resolva o sistema: c3 ln x+2 ln y=2 x^3+y^2=2 e.
Resposta:
a) x=raiz[3]e ; y=raize
b) x=raize2 ; y=2 e
c) x=raiz[3]e ; y=2 e
d) x=1raize ; y=e
c) outro

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações:
3 ln x + 2 ln y = 2 x^3 + y^2 = 2e
Aqui, estamos lidando com logaritmos e equações exponenciais. Para resolver esse sistema, vamos usar as propriedades dos logaritmos e manipular as equações para encontrar os valores de $ x $ e $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a primeira equação usando as propriedades dos logaritmos. Lembre-se que $ a \ln b = \ln b^a $. Aplicando isso:
a ln b = ln b^a
Agora, podemos reescrever a equação assim:
3 ln x + 2 ln y = ln x^3 + ln y^2 = ln(x^3 y^2) = 2

Passo 3

Para eliminar o logaritmo, usamos a propriedade que $ \ln a = b $ implica $ a = e^b $. Portanto:
ln a = b
Isso simplifica para:
a = e^b

Passo 4

Agora, vamos olhar para a segunda equação do sistema:
x^3 + y^2 = 2e
Temos duas equações:
  1. $ x^3 y^2 = e^{2} $
  2. $ x^3 + y^2 = 2e $

Passo 5

Vamos chamar $ x^3 $ de $ a $ e $ y^2 $ de $ b $ para simplificar:
x^3
Agora, temos um sistema mais simples com $ a $ e $ b $.

Passo 6

Podemos resolver esse sistema usando substituição. Da segunda equação:
b = 2e - a
Substituindo na primeira equação:
a(2e - a) = e^2
2e a - a^2 = e^2
a^2 - 2e a + e^2 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
a^2 - 2e a + e^2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
a = 2e pm raiz(2e)^2 - 4 cdot 1 cdot e^22 = 2e pm raiz4e^2 - 4e^22 = 2e2 = e
Então, $ a = e $.

Passo 8

Agora que temos $ a = e $, voltamos para $ b = 2e - a $:
a = e
Então, $ b = e $.

Passo 9

Lembrando que:
a = x^3 = e Rightarrow x = raiz[3]e
b = y^2 = e Rightarrow y = raize

Resposta

a) $ x = \sqrt[3]{e} ; y = \sqrt{e} $

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