Resolva o sistema abaixo por fatoração LU:
{ 3x1 + 4x2 - 5x3 = -11, x1 + x2 + 2x3 = 4, -2x1 - 3x2 + x3 = 3 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração LU. O que isso significa? Basicamente, vamos decompor a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e outra triangular superior (U). Isso facilita a resolução do sistema em duas etapas: primeiro resolvemos e depois . Para isso, vamos precisar das operações de linha e entender como decompor a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes :

Passo 3

Agora, vamos decompor em e . A matriz será uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, e será uma matriz triangular superior. Vamos começar preenchendo e :
Igualando , temos:

[



]
Multiplicando as matrizes e , obtemos as seguintes equações:
Então, as matrizes e são:

Passo 4

Agora que temos e , vamos resolver . Escrevendo isso:

[


]
Resolvendo passo a passo:
  1. Primeira equação:
  2. Segunda equação:
  3. Terceira equação:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver . Escrevendo isso:

[


]
Resolvendo de baixo para cima:
  1. Terceira equação:
  2. Segunda equação:
  3. Primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:

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