Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para resolver um sistema de equações diferenciais usando eliminação ou determinantes. As equações são:
Aqui, representa a derivada em relação a . Para resolver esse sistema, vamos precisar usar técnicas de eliminação para reduzir o sistema a uma equação diferencial de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as equações para eliminar variáveis. Sabemos que . Vamos derivar essa equação:
Agora, temos . Vamos derivar novamente:
Então, chegamos à equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação diferencial de terceira ordem:
Podemos reescrever essa equação como:
Para resolver essa equação, encontramos as raízes da equação característica associada:

Passo 4

Resolvendo a equação característica , temos:
Essas são as três ra��zes: uma real ( ) e duas complexas conjugadas ( ).

Passo 5

Com as raízes da equação característica, a solução geral para é:
Onde são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Podemos simplificar a solução usando funções trigonométricas, já que temos termos complexos. Utilizando , a solução fica:

Passo 7

Agora, lembrando que e , vamos derivar para encontrar e :
E:
(As expressões para e podem ser detalhadas conforme necessário.)

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
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