Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração
A=LU com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a
a1 j . Verifique que desta forma obtém-se o elemento
u1 j ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a
ai 1 será possível obter
li 1 ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as (
k-1 ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
uk j=ak j-summ=1^k-1 lk m um j, j=k,(k+1), ldots, n
e
1i k=(ai k-summ=1^k-1 1i m um k) / uk k, i=(k+1), ldots, n ;
d) explique por que, se A é não singular, então
U também o será, donde
ukk neq 0 ,
k=1, ldots, n ;
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo
A=(rrrr 2 & 3 & 1 & 5 1 & 3.5 & 1 & 7.5 1.4 & 2.7 & 5.5 & 12 -2 & 1 & 3 & 28 ) e b=(r 11 13 21.6 30 )