Em cada caso, verifique que det A neq 0 e aplique a regra de Cramer para resolver a equação matricial
A cdot X=B.
A=[rrr1 & 2 & 4 2 & 3 & -1 -1 & 0 & 16]3 times 3, X=[lx y z]3 times 1 e B=[l0 0 4]3 times 1.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação matricial do tipo A cdot X = B, onde:
  • A é uma matriz 3x3.
  • X é uma matriz coluna com as incógnitas x, y e z.
  • B é uma matriz coluna com os termos do lado direito da equação.
Vamos resolver isso usando a Regra de Cramer, que é uma técnica para encontrar as soluções de sistemas de equações lineares usando determinantes. Primeiro, a gente precisa conferir se o determinante da matriz A não é zero, porque se for zero, a Regra de Cramer não funciona e o sistema pode não ter solução única. Se o determinante for diferente de zero, podemos usar a Regra de Cramer para encontrar os valores de x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A:
A = 1 & 2 & 4 2 & 3 & -1 -1 & 0 & 16
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
a & b & c d & e & f g & h & i
Substituindo os valores da nossa matriz A:
det(A) = 1 cdot (3 cdot 16 - (-1) cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 16 - (-1) cdot (-1)) + 4 cdot (2 cdot 0 - 3 cdot (-1))
= 1 cdot (48 - 0) - 2 cdot (32 - 1) + 4 cdot (0 + 3)
= 48 - 2 cdot 31 + 4 cdot 3
= 48 - 62 + 12
= -2
Como det(A) = -2 neq 0, podemos prosseguir com a Regra de Cramer.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de x usando a Regra de Cramer. Para isso, substituímos a primeira coluna da matriz A pela matriz B e calculamos o determinante dessa nova matriz, que chamaremos de Ax.
Ax = 0 & 2 & 4 0 & 3 & -1 4 & 0 & 16
Calculando o determinante de Ax:
det(Ax) = 0 cdot (3 cdot 16 - (-1) cdot 0) - 2 cdot (0 cdot 16 - (-1) cdot 4) + 4 cdot (0 cdot 0 - 3 cdot 4)
= 0 - 2 cdot (0 + 4) + 4 cdot (0 - 12)
= 0 - 8 - 48
= -56
Agora, aplicamos a fórmula da Regra de Cramer para x:
x = det(Ax)det(A) = -56-2 = 28

Passo 4

Vamos encontrar o valor de y substituindo a segunda coluna da matriz A pela matriz B, formando a matriz Ay:
Ay = 1 & 0 & 4 2 & 0 & -1 -1 & 4 & 16
Calculando o determinante de Ay:
det(Ay) = 1 cdot (0 cdot 16 - (-1) cdot 4) - 0 cdot (2 cdot 16 - (-1) cdot (-1)) + 4 cdot (2 cdot 4 - 0 cdot (-1))
= 1 cdot (0 + 4) - 0 + 4 cdot (8 - 0)
= 4 + 32
= 36
Aplicando a fórmula para y:
y = det(Ay)det(A) = 36-2 = -18

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o valor de z substituindo a terceira coluna da matriz A pela matriz B, formando a matriz Az:
Az = 1 & 2 & 0 2 & 3 & 0 -1 & 0 & 4
Calculando o determinante de Az:
det(Az) = 1 cdot (3 cdot 4 - 0 cdot 0) - 2 cdot (2 cdot 4 - 0 cdot (-1)) + 0 cdot (2 cdot 0 - 3 cdot (-1))
= 1 cdot 12 - 2 cdot 8 + 0
= 12 - 16
= -4
Aplicando a fórmula para z:
z = det(Az)det(A) = -4-2 = 2

Resposta

A solução do sistema é:
x = 28, y = -18, z = 2

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