Resolva os sistemas abaixo. Possui Solução? A Solução é única? Possui infinitas Soluções?
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações:
x - y + 2z = 4 3x + y + 4z = 6 x + y + z = 1
Esse exercício está dentro do conteúdo de sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método da substituição ou da combinação (eliminação) e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sistema. Observando as equações, podemos tentar eliminar uma variável para facilitar. Vamos eliminar o .
Passo 3
Vamos somar a primeira e a segunda equação para eliminar o (x - y + 2z) + (3x + y + 4z) = 4 + 6 :
4x + 6z = 10
Isso resulta em:
2x + 3z = 5 (Equação 4)
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
çã
Passo 4
Agora, vamos eliminar o (x - y + 2z) + (x + y + z) = 4 + 1 usando a primeira e a terceira equação. Soma-las:
2x + 3z = 5
Isso resulta em:
2x = 5 - 3z x = 5 - 3z2
Percebemos que é a mesma Equação 4, o que indica que as equações não são independentes. Vamos resolver a Equação 4 para expressar em função de :
Passo 5
Agora, substituímos ( 5 - 3z2 ) + y + z = 1 na terceira equação para encontrar 5 - 3z + 2y + 2z = 2 2y - z = -3 (Equação 5) :
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:
çã
Passo 6
Agora, temos duas equações com duas variáveis:
2x + 3z = 5 2y - z = -3
Podemos resolver a Equação 5 para 2y = z - 3 y = z - 32 :
Passo 7
Agora, temos x = 5 - 3t2 y = t - 32 z = t e em função de . Isso significa que podemos escolher qualquer valor para e encontrar e . Por exemplo, se , então:
Onde é qualquer número real.
Resposta
O sistema possui infinitas soluções, expressas por: