Sejam A e B matrizes quadradas tais que det(A)=3 e det(B)=-2. Calcule det(A^T B).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , com os determinantes e . A gente precisa descobrir o valor de . Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de determinantes de matrizes, como a da matriz transposta e a do produto de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante: o determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Matematicamente, isso é representado por:
det(A^T) = det(A)
Então, aplicando isso ao nosso caso:
det(A^T) = det(A) = 3

Passo 3

Agora, vamos usar outra propriedade que diz que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas. Ou seja:
det(AB) = det(A) cdot det(B)
No nosso caso, temos det(A^T B) = det(A^T) cdot det(B) , então aplicando a propriedade:

Passo 4

Substituindo os valores que já sabemos:
det(A^T B) = 3 cdot (-2) = -6

Resposta

det(A^T B) = -6

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