Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss! ✌️ Primeiro, o que temos aqui? São quatro equações com cinco incógnitas: . O conteúdo que vamos usar é a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as soluções. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer umas manobras de linhas para deixar tudo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e aplicar as operações de Gauss:

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero. Primeiro, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo de .
Para eliminar o na segunda linha, primeira coluna, fazemos: Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1

Passo 4

Vamos agora eliminar o na terceira linha, primeira coluna. Fazemos: Linha3 = Linha3 + Linha1

Passo 5

Agora, vamos eliminar o na quarta linha, primeira coluna. Fazemos: Linha4 = Linha4 - 4 * Linha1

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos eliminar os elementos abaixo e acima do na segunda linha, segunda coluna.
Primeiro, vamos eliminar o na terceira linha, segunda coluna. Fazemos: Linha3 = Linha3 + 2 * Linha2

Passo 7

Agora, vamos eliminar o na quarta linha, segunda coluna. Fazemos: Linha4 = Linha4 - 3 * Linha2

Passo 8

Olha só, chegamos a uma situação onde as últimas duas linhas são todas zeros. Isso significa que temos infinitas soluções, e podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher como a variável livre.
Agora, reescrevemos as equações das primeiras duas linhas:

Passo 9

Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 10

Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Combinando termos similares:

Passo 11

Agora, isolamos :

Passo 12

Então, temos nossas expressões em termos das variáveis livres e :

Resposta

As soluções do sistema são todas as quintes que satisfazem:
Isso significa que, dependendo dos valores que escolhermos para e , podemos encontrar valores correspondentes para e .

Exercícios relacionados

Em cada parte, encontre matrizes e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .
b) .
Para cada matriz ampliada abaixo, determine se o sistema escalonado tem uma única solução, tem uma infinidade de soluções ou nenhuma solução, sem resolvê-lo; em sistemas compatíveis, indique quantas são as variáveis livres e as variáveis dependentes.
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Para quais valores de k o sistema linear c) tem infinitas soluções.
Resolva os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan:
(b)