Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
© alignedx-2 y+z+3 w+2 t & = & 8 2 x-3 y+5 z+7 w+3 t & = & 21 -x-7 z-5 w & = & -18 4 x-5 y+13 z+15 w+5 t & = & 47

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss! ✌️ Primeiro, o que temos aqui? São quatro equações com cinco incógnitas: . O conteúdo que vamos usar é a eliminação de Gauss, que é uma técnica para simplificar sistemas lineares e encontrar as soluções. Para isso, vamos organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer umas manobras de linhas para deixar tudo mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e aplicar as operações de Gauss:
1 & -2 & 1 & 3 & 2 & | & 8 2 & -3 & 5 & 7 & 3 & | & 21 -1 & 0 & -7 & -5 & 0 & | & -18 4 & -5 & 13 & 15 & 5 & | & 47

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal tudo é zero. Primeiro, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo de 1 & -2 & 1 & 3 & 2 & | & 8 0 & 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 -1 & 0 & -7 & -5 & 0 & | & -18 4 & -5 & 13 & 15 & 5 & | & 47 .
Para eliminar o na segunda linha, primeira coluna, fazemos: Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1

Passo 4

Vamos agora eliminar o 1 & -2 & 1 & 3 & 2 & | & 8 0 & 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 0 & -2 & -6 & -2 & 2 & | & -10 4 & -5 & 13 & 15 & 5 & | & 47 na terceira linha, primeira coluna. Fazemos: Linha3 = Linha3 + Linha1

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 1 & -2 & 1 & 3 & 2 & | & 8 0 & 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 0 & -2 & -6 & -2 & 2 & | & -10 0 & 3 & 9 & 3 & -3 & | & 15 na quarta linha, primeira coluna. Fazemos: Linha4 = Linha4 - 4 * Linha1

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos eliminar os elementos abaixo e acima do 1 & -2 & 1 & 3 & 2 & | & 8 0 & 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 3 & 9 & 3 & -3 & | & 15 na segunda linha, segunda coluna.
Primeiro, vamos eliminar o na terceira linha, segunda coluna. Fazemos: Linha3 = Linha3 + 2 * Linha2

Passo 7

Agora, vamos eliminar o 1 & -2 & 1 & 3 & 2 & | & 8 0 & 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 na quarta linha, segunda coluna. Fazemos: Linha4 = Linha4 - 3 * Linha2

Passo 8

Olha só, chegamos a uma situação onde as últimas duas linhas são todas zeros. Isso significa que temos infinitas soluções, e podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos escolher como a variável livre.
Agora, reescrevemos as equações das primeiras duas linhas:

Passo 9

Vamos resolver a segunda equação para :

Passo 10

Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Combinando termos similares:

Passo 11

Agora, isolamos :

Passo 12

Então, temos nossas expressões em termos das variáveis livres x = 18 - 7z - 5w y = 5 - 3z - w + t z = z w = w t = t e :

Resposta

As soluções do sistema são todas as quintes x = 18 - 7z - 5w y = 5 - 3z - w + t z livre w livre t livre que satisfazem:
Isso significa que, dependendo dos valores que escolhermos para e , podemos encontrar valores correspondentes para e .

Exercícios relacionados