Resolver os sistemas abaixo utilizando o método de Gauss:
(d) rlrx-y+z+2 w & =8 -x+y+z+3 w & = & 4 x-y+3 z+7 w & = & 2 -x+y+z-2 w & = & -6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método de Gauss! O que isso significa? Basicamente, vamos transformar o sistema de equações em uma forma mais simples, chamada escalonada, para facilitar a solução. Aqui, temos 4 equações com 4 incógnitas: , , e . Vamos precisar manipular essas equações para isolar as variáveis passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes. Isso ajuda a visualizar melhor as operações que vamos fazer.
1 & -1 & 1 & 2 & | & 8 -1 & 1 & 1 & 3 & | & 4 1 & -1 & 3 & 7 & | & 2 -1 & 1 & 1 & -2 & | & -6

Passo 3

Nosso objetivo é ter 1 na primeira posição e zerar os números abaixo dela na primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), então vamos usar a primeira linha para zerar os termos abaixo.
  • Linha 2: Linha 2 = Linha 1 + Linha 2 1 & -1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 0 & 2 & 5 & | & 12 1 & -1 & 3 & 7 & | & 2 -1 & 1 & 1 & -2 & | & -6 na posição (2,1). Vamos somar a Linha 1 com a Linha 2.

Passo 4

  • Linha 3: Linha 3 = Linha 3 - Linha 1 1 & -1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 0 & 2 & 5 & | & 12 0 & 0 & 2 & 5 & | & -6 -1 & 1 & 1 & -2 & | & -6 na posição (3,1). Vamos subtrair a Linha 1 da Linha 3 para zerar essa posição.

Passo 5

  • Linha 4: Linha 4 = Linha 1 + Linha 4 1 & -1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 0 & 2 & 5 & | & 12 0 & 0 & 2 & 5 & | & -6 0 & 0 & 2 & 0 & | & 2 na posição (4,1). Vamos somar a Linha 1 com a Linha 4 para zerar essa posição.

Passo 6

Agora, observamos que as linhas 2, 3 e 4 têm zeros nas duas primeiras colunas. Vamos focar na terceira coluna. Queremos ter um 2 na posição (2,3) e zerar abaixo.
  • Linha 3: Vamos subtrair a Linha 2 da Linha 3.
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2 1 & -1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 0 & 2 & 5 & | & 12 0 & 0 & 0 & 0 & | & -18 0 & 0 & 2 & 0 & | & 2

Passo 7

  • Linha 4: Para zerar abaixo, vamos subtrair a Linha 2 da Linha 4.
Linha 4 = Linha 4 - Linha 2 1 & -1 & 1 & 2 & | & 8 0 & 0 & 2 & 5 & | & 12 0 & 0 & 0 & 0 & | & -18 0 & 0 & 0 & -5 & | & -10

Passo 8

Agora, vamos observar que a Linha 3 resultou em , o que é uma contradição. Isso significa que o sistema não tem solução única; na verdade, ele é inconsistente.

Resposta

O sistema de equações não possui solução, pois é inconsistente.

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