Seja f: C^3 C dada por f(x, y, z)=5 x-i z e T: C^2 C^3 a transformação linear dada por T(x, y)=(2 x+y, y-x, i y). Determine T^t(f).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar , onde é uma aplicação linear de para dada por , e é uma transformação linear de para definida por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e suas transpostas (ou duals).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transformação transposta . Basicamente, transforma uma aplicação linear que vai de para (como o dado) em uma aplicação linear que vai de para . Isso significa que será uma nova função que recebe um vetor em e retorna um número complexo.

Passo 3

Para encontrar T(x, y) = (2x + y, y - x, iy) , vamos compor a função f(T(x, y)) = f(2x + y, y - x, iy) = 5(2x + y) - i(iy) com a transformação . Ou seja, . Vamos fazer essa composição passo a passo.
Primeiro, aplicamos a um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
5(2x + y) - i(iy) = 10x + 5y - i^2 y
Sabemos que 10x + 5y - (-1)y = 10x + 5y + y = 10x + 6y , então substituindo:
Então, é a aplicação linear que associa a cada vetor em o número complexo .

Resposta

Exercícios relacionados