Seja
dada por
e
a transformação linear dada por
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar
, onde
é uma aplicação linear de
para
dada por
, e
é uma transformação linear de
para
definida por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e suas transpostas (ou duals).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transformação transposta
. Basicamente,
transforma uma aplicação linear que vai de
para
(como o
dado) em uma aplicação linear que vai de
para
. Isso significa que
será uma nova função que recebe um vetor em
e retorna um número complexo.
Passo 3
Para encontrar
, vamos compor a função
com a transformação
. Ou seja,
. Vamos fazer essa composição passo a passo.
Primeiro, aplicamos
a um vetor
em
:
Agora, aplicamos
ao resultado de
:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Sabemos que
, então substituindo:
Então,
é a aplicação linear que associa a cada vetor
em
o número complexo
.