Seja dada por e a transformação linear dada por . Determine .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar , onde é uma aplicação linear de para dada por , e é uma transformação linear de para definida por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e suas transpostas (ou duals).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a transformação transposta . Basicamente, transforma uma aplicação linear que vai de para (como o dado) em uma aplicação linear que vai de para . Isso significa que será uma nova função que recebe um vetor em e retorna um número complexo.

Passo 3

Para encontrar , vamos compor a função com a transformação . Ou seja, . Vamos fazer essa composição passo a passo.
Primeiro, aplicamos a um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Sabemos que , então substituindo:
Então, é a aplicação linear que associa a cada vetor em o número complexo .

Resposta

Exercícios relacionados

Exiba três vetores com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro, nenhuma das coordenadas é igual a zero e não é gerado por eles.
Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(d) O conjunto dos vetores que tem duas ou mais coordenadas nulas.
Assinale a alternativa
  • 25 pontos
    que indica o tipo do sistema
O sistema possui única solução
O sistema admite infinitas soluções
O sistema não possui solução
O sistema não é equivalente a nenhum sistema escalonado