Seja dada por e a transformação linear dada por . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar , onde é uma aplicação linear de para dada por , e é uma transformação linear de para definida por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de transformações lineares e suas transpostas (ou duals).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a transformação transposta . Basicamente, transforma uma aplicação linear que vai de para (como o dado) em uma aplicação linear que vai de para . Isso significa que será uma nova função que recebe um vetor em e retorna um número complexo.
Passo 3
Para encontrar , vamos compor a função com a transformação . Ou seja, . Vamos fazer essa composição passo a passo.
Primeiro, aplicamos a um vetor em :
Agora, aplicamos ao resultado de :
Passo 4
Vamos simplificar a expressão que obtivemos:
Sabemos que , então substituindo:
Então, é a aplicação linear que associa a cada vetor em o número complexo .