Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(d) O conjunto dos vetores
que tem duas ou mais coordenadas nulas.
(d) O conjunto dos vetores
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se um certo conjunto de vetores em
é um subespaço vetorial. Especificamente, estamos olhando para o conjunto de vetores
que têm duas ou mais coordenadas nulas. Para resolver isso, precisamos entender o que é um subespaço vetorial e verificar se esse conjunto atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de
deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado sob adição: Se
e estão no conjunto, então também deve estar. - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está no conjunto e é um número real, então também deve estar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor zero
O vetor zero,
, tem todas as cinco coordenadas nulas. Como duas ou mais coordenadas são nulas, ele pertence ao conjunto. Então, a primeira condição está ok.
Passo 4
2. Fechado sob adição
Vamos ver se, ao somarmos dois vetores que têm duas ou mais coordenadas nulas, o resultado também terá duas ou mais coordenadas nulas.
Exemplo:
Considere e
. Ambos têm duas coordenadas nulas.
Considere
Agora, o vetor
tem apenas uma coordenada nula (a segunda). Isso significa que, mesmo que
e
estejam no conjunto,
não está. Portanto, o conjunto não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar
Embora já tenhamos identificado que o conjunto não é fechado sob adição, vamos verificar a última condição por completude.
Considere um vetor
no conjunto e um escalar
.
O vetor resultante tem três coordenadas nulas (a segunda e a terceira), então, neste caso, está no conjunto. Contudo, isso não garante que para todo escalar e todo vetor, a condição seja satisfeita. Mesmo assim, como já falhamos na condição de fechamento sob adição, não é necessário seguir adiante.
Resposta
O conjunto dos vetores
com duas ou mais coordenadas nulas não é um subespaço vetorial.