Classifique e resolva cada um dos sistemas a seguir:
lx+y+z=4 5 x+2 y+z=3 6 x+3 y+2 z=7

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três variáveis: , e . O objetivo aqui é classificar o sistema (ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma) e, depois, resolver para descobrir os valores de , e . Para isso, vamos usar técnicas de álgebra linear, como eliminação e substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de novo para ficar mais fácil de visualizar:
x + y + z = 4 (1) 5x + 2y + z = 3 (2) 6x + 3y + 2z = 7 (3)

Passo 3

Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar (5x + 2y + z) - (x + y + z) = 3 - 4 4x + y = -1 (4) das equações (1) e (2). Para isso, subtraímos a equação (1) da equação (2):

Passo 4

Agora, vamos eliminar 2(x + y + z) = 2 times 4 2x + 2y + 2z = 8 (5) entre as equações (1) e (3). Primeiro, multiplicamos a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação:
(6x + 3y + 2z) - (2x + 2y + 2z) = 7 - 8 4x + y = -1 (6)
Subtraindo a equação (5) da equação (3):

Passo 5

Interessante! As equações (4) e (6) são iguais:
4x + y = -1
Isso significa que, até agora, conseguimos reduzir o sistema para uma única equação com duas variáveis. Vamos usar essa equação para expressar y = -1 - 4x (7) em termos de :

Passo 6

Agora, voltamos à equação (1) para substituir x + (-1 - 4x) + z = 4 x - 1 - 4x + z = 4 -3x + z = 5 z = 5 + 3x (8) pela expressão encontrada na equação (7):

Passo 7

Até agora, temos 5x + 2(-1 - 4x) + (5 + 3x) = 3 5x - 2 - 8x + 5 + 3x = 3 (5x - 8x + 3x) + ( -2 + 5) = 3 0x + 3 = 3 3 = 3 e em termos de . Agora, precisamos descobrir o valor de . Vamos voltar à equação (2) e substituir e pelas expressões das equações (7) e (8):

Passo 8

A equação final é verdadeira para qualquer valor de . Isso significa que o sistema tem infinitas soluções, pois pode ser qualquer número real, e e dependem desse valor de .

Resposta

O sistema possui infinitas soluções. As soluções estão dadas por:
x = t (onde t é qualquer número real) y = -1 - 4t z = 5 + 3t éú
Ou seja, para qualquer valor escolhido para , temos valores correspondentes de , e que satisfazem todas as equações do sistema.

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