Resolva os sistemas lineares utilizando a regra de Cramer: la+4 b+3 c=1 a-3 b-2 c=5 2 a+5 b+4 c=4 S=(3,-2,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é resolver esse sistema usando a Regra de Cramer, que é uma forma prática de encontrar as soluções quando temos o mesmo número de equações e incógnitas. Para isso, vamos precisar calcular determinantes de matrizes. Vamos começar montando as matrizes necessárias!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
a + 4b + 3c = 1 a - 3b - 2c = 5 2a + 5b + 4c = 4
A Regra de Cramer nos diz que para resolver esse sistema, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes , e , que são formados substituindo respectivamente as colunas de , e pelos termos constantes do sistema.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes D = 1 & 4 & 3 1 & -3 & -2 2 & 5 & 4 :
D = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)
Agora, vamos calcular o determinante D = 1((-3)(4) - (-2)(5)) - 4(1(4) - (-2)(2)) + 3(1(5) - (-3)(2)) . A fórmula para calcular o determinante de uma matriz 3x3 é:
D = 1(-12 + 10) - 4(4 + 4) + 3(5 + 6)
Aplicando isso:
D = 1(-2) - 4(8) + 3(11)
D = -2 - 32 + 33 = -34 + 33 = -1

Passo 4

Agora, vamos calcular Da = 1 & 4 & 3 5 & -3 & -2 4 & 5 & 4 , substituindo a coluna de Da = 1((-3)(4) - (-2)(5)) - 4(5(4) - (-2)(4)) + 3(5(5) - (-3)(4)) pela coluna dos termos constantes:
Da = 1(-12 + 10) - 4(20 + 8) + 3(25 + 12)
Calculando Da = 1(-2) - 4(28) + 3(37) :
Da = -2 - 112 + 111 = -114 + 111 = -3
Db = 1 & 1 & 3 1 & 5 & -2 2 & 4 & 4
Db = 1(5 cdot 4 - (-2) cdot 4) - 1(1 cdot 4 - (-2) cdot 2) + 3(1 cdot 4 - 5 cdot 2)
Db = 1(20 + 8) - 1(4 + 4) + 3(4 - 10)
Agora, Db = 1(28) - 1(8) + 3(-6) , substituindo a coluna de Db = 28 - 8 - 18 = 20 - 18 = 2 :
Dc = 1 & 4 & 1 1 & -3 & 5 2 & 5 & 4
Calculando Dc = 1((-3)(4) - 5 cdot 5) - 4(1 cdot 4 - 5 cdot 2) + 1(1 cdot 5 - (-3) cdot 2) :
Dc = 1(-12 - 25) - 4(4 - 10) + 1(5 + 6)
Dc = 1(-37) - 4(-6) + 1(11)
Dc = -37 + 24 + 11 = -37 + 35 = -2
E por último, , substituindo a coluna de :
Calculando :

Passo 5

Agora que temos a = DaD = -3-1 = 3 , b = DbD = 2-1 = -2 , c = DcD = -2-1 = 2 e , podemos encontrar as variáveis usando a Regra de Cramer:

Resposta

A solução do sistema é , e .

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