Responda Verdadeiro ou Falso. Se verdadeiro apresente uma justificativa usando as propriedades de matrizes; se falso, dê um exemplo mostrando o contrário. (k) Toda matriz diagonal é ao mesmo tempo uma matriz triangular inferior e triangular superior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente responder se é Verdadeiro ou Falso que toda matriz diagonal também é uma matriz triangular inferior e triangular superior. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes diagonais e matrizes triangulares (inferior e superior).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. Ou seja, só os números que estão de cima para baixo na diagonal precisam ter valor diferente de zero.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma matriz triangular superior. Ela é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Só os números acima e na diagonal podem ser diferentes de zero.
Matriz Triangular Superior: a & d & e 0 & b & f 0 & 0 & c
Passo 4
De forma similar, uma matriz triangular inferior é uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal principal são zero. Apenas os números abaixo e na diagonal podem ter valores diferentes de zero.
Matriz Triangular Inferior: a & 0 & 0 g & b & 0 h & i & c
Passo 5
Agora que entendemos os conceitos, vamos analisar uma matriz diagonal e ver se ela atende às definições de triangular superior e inferior. Vamos usar uma matriz diagonal qualquer:
D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Passo 6
Observando a matriz , percebemos que todos os elementos abaixo da diagonal são zero, o que satisfaz a condição para ser uma matriz triangular superior. Da mesma forma, todos os elementos acima da diagonal também são zero, o que satisfaz a condição para ser uma matriz triangular inferior.
Resposta
Verdadeiro. Toda matriz diagonal é simultaneamente uma matriz triangular superior e triangular inferior, pois todos os elementos fora da diagonal principal são zero, atendendo assim às definições de ambas as matrizes triangulares.