Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
c)
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Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares e vamos utilizar métodos de álgebra linear para resolver, especificamente, a forma escalonada de uma matriz aumentada.
O que precisamos: Formar a matriz aumentada do sistema, aplicar operações de linha para reduzi-la à forma escalonada, determinar os postos das matrizes e verificar a consistência do sistema usando o Teorema de Rouché-Capelli.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:
Passo 3
Agora, vamos transformar essa matriz para a forma escalonada usando operações de linha. O objetivo é ter zeros abaixo dos elementos principais (1 na primeira linha, primeira coluna).
Operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o
da segunda equação.
Passo 4
A matriz agora está na forma escalonada:
Explicação: Nessa forma, o primeiro elemento da primeira linha é 1, e abaixo dele temos zeros. Na segunda linha, o primeiro elemento não-zero é 9, que está na segunda coluna.
Passo 5
Determinação dos postos:
-
Posto da matriz aumentada: É o número de linhas não-nulas na matriz aumentada. Aqui, ambos as linhas são não-nulas, então o posto é 2.
-
Posto da matriz dos coeficientes: Considerando apenas os coeficientes das variáveis:
Após as operações, a forma escalonada também mostra que o posto dessa matriz é 2.
Passo 6
Aplicando o Teorema de Rouché-Capelli:
O teorema afirma que um sistema é compatível e determinado se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas. Caso contrário, se os postos são iguais mas menores que o número de incógnitas, o sistema é compatível e indeterminado.
Aqui, ambos os postos são 2 e o número de incógnitas é 3. Como 2 < 3, o sistema é compatível e indeterminado.
Passo 7
Grau de liberdade: É dado pela diferença entre o número de incógnitas e o posto.
Isso significa que a solução do sistema dependerá de um parâmetro livre.
Resposta
O sistema é compatível e indeterminado, com grau de liberdade igual a 1.
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Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .
(a)
Para quais valores de
, o sistema
tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
© , onde
.
©
Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os vetores da forma:
(b) , onde
e
.
(b)