Resolva os sistemas seguintes achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando também seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Confira os resultados com o Teorema de Rouché-Capelli. Faça o escalonamento passo a passo.
c)

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com sistemas lineares e vamos utilizar métodos de álgebra linear para resolver, especificamente, a forma escalonada de uma matriz aumentada.
O que precisamos: Formar a matriz aumentada do sistema, aplicar operações de linha para reduzi-la à forma escalonada, determinar os postos das matrizes e verificar a consistência do sistema usando o Teorema de Rouché-Capelli.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações:

Passo 3

Agora, vamos transformar essa matriz para a forma escalonada usando operações de linha. O objetivo é ter zeros abaixo dos elementos principais (1 na primeira linha, primeira coluna).
Operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o da segunda equação.

Passo 4

A matriz agora está na forma escalonada:
Explicação: Nessa forma, o primeiro elemento da primeira linha é 1, e abaixo dele temos zeros. Na segunda linha, o primeiro elemento não-zero é 9, que está na segunda coluna.

Passo 5

Determinação dos postos:
  • Posto da matriz aumentada: É o número de linhas não-nulas na matriz aumentada. Aqui, ambos as linhas são não-nulas, então o posto é 2.
  • Posto da matriz dos coeficientes: Considerando apenas os coeficientes das variáveis:
Após as operações, a forma escalonada também mostra que o posto dessa matriz é 2.

Passo 6

Aplicando o Teorema de Rouché-Capelli:
O teorema afirma que um sistema é compatível e determinado se o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada e igual ao número de incógnitas. Caso contrário, se os postos são iguais mas menores que o número de incógnitas, o sistema é compatível e indeterminado.
Aqui, ambos os postos são 2 e o número de incógnitas é 3. Como 2 < 3, o sistema é compatível e indeterminado.

Passo 7

Grau de liberdade: É dado pela diferença entre o número de incógnitas e o posto.
Isso significa que a solução do sistema dependerá de um parâmetro livre.

Resposta

O sistema é compatível e indeterminado, com grau de liberdade igual a 1.

Exercícios relacionados

Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .
Para quais valores de , o sistema tem
a) uma única solução;
b) infinitas soluções;
c) nenhuma solução;
respostas:
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
© , onde .
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(b) , onde e .