Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os polinômios da forma:
© , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão juntos! Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com subespaços de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. O exercício nos pede para verificar se o conjunto de polinômios da forma , onde , é um subespaço de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os três critérios que um subconjunto de um espaço vetorial precisa satisfazer para ser considerado um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor zero de .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de por qualquer escalar, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar esses critérios para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em é o polinômio . Para este polinômio, os coeficientes são , e . Vamos verificar se :
Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer no conjunto:
Agora, somamos :
Para que esteja no conjunto, precisamos que:
Sabemos que e . Somando essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição , estando assim no conjunto.

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer no conjunto:
E um escalar . Multiplicamos por :
Para que esteja no conjunto, precisamos que:
Fatorando :
Como , temos:
Isso confirma que também satisfaz a condição , estando assim no conjunto.

Resposta

O conjunto de todos os polinômios da forma , onde , é um subespaço de .

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c)
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(a) .
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
(b) , onde e .
Quais dos subconjuntos de a seguir são subespaços de . O conjunto de todos os vetores da forma:
© , onde e .