Quais dos subconjuntos de P2 a seguir são subespaços de P2. O conjunto de todos os polinômios da forma:
© a2 t^2+a1 t+a0, onde a2+a1=a0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão juntos! Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com subespaços de , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. O exercício nos pede para verificar se o conjunto de polinômios da forma , onde , é um subespaço de . Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar os três critérios que um subconjunto de um espaço vetorial precisa satisfazer para ser considerado um subespaço:
  1. Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor zero de .
  2. Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somá-los, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de por qualquer escalar, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar esses critérios para o conjunto dado.

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em 0 + 0 = 0 (verdadeiro) é o polinômio . Para este polinômio, os coeficientes são , e . Vamos verificar se :
Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer no conjunto:
P(t) = a2 t^2 + a1 t + a0 com a2 + a1 = a0
Q(t) = b2 t^2 + b1 t + b0 com b2 + b1 = b0
Agora, somamos P(t) + Q(t) = (a2 + b2) t^2 + (a1 + b1) t + (a0 + b0) :
(a2 + b2) + (a1 + b1) = (a0 + b0)
Para que (a2 + b2) + (a1 + b1) = a0 + b0 esteja no conjunto, precisamos que:
Sabemos que e . Somando essas duas equações:
Portanto, também satisfaz a condição , estando assim no conjunto.

Passo 5

3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer no conjunto:
P(t) = a2 t^2 + a1 t + a0 com a2 + a1 = a0
E um escalar k cdot P(t) = (k a2) t^2 + (k a1) t + (k a0) . Multiplicamos (k a2) + (k a1) = k a0 por k(a2 + a1) = k a0 :
k a0 = k a0
Para que esteja no conjunto, precisamos que:
Fatorando :
Como , temos:
Isso confirma que também satisfaz a condição , estando assim no conjunto.

Resposta

O conjunto de todos os polinômios da forma , onde , é um subespaço de .

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