Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
. O conjunto de todos os polinômios da forma:
©
, onde
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão juntos! Aqui, estamos trabalhando com espaços vetoriais, especificamente com subespaços de
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. O exercício nos pede para verificar se o conjunto de polinômios da forma
, onde
, é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os três critérios que um subconjunto
de um espaço vetorial
precisa satisfazer para ser considerado um subespaço:
- Contém o vetor zero: O conjunto
deve incluir o vetor zero de . - Fechado sob adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somá-los, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se você multiplicar um vetor de
por qualquer escalar, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar esses critérios para o conjunto dado.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está no conjunto:
O vetor zero em
é o polinômio
. Para este polinômio, os coeficientes são
,
e
. Vamos verificar se
:
Então, o vetor zero está no conjunto.
Passo 4
2. Verificando a fechamento sob adição:
Vamos pegar dois polinômios quaisquer no conjunto:
Agora, somamos
:
Para que
esteja no conjunto, precisamos que:
Sabemos que
e
. Somando essas duas equações:
Portanto,
também satisfaz a condição
, estando assim no conjunto.
Passo 5
3. Verificando a fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um polinômio qualquer no conjunto:
E um escalar
. Multiplicamos
por
:
Para que
esteja no conjunto, precisamos que:
Fatorando
:
Como
, temos:
Isso confirma que
também satisfaz a condição
, estando assim no conjunto.
Resposta
O conjunto de todos os polinômios da forma
, onde
, é um subespaço de
.