Resolva os sistemas utilizando escalonamento.
l5 x-2 y+2 z=2 3 x+y+4 z=-1 4 x-3 y+4 z=3

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando o método de escalonamento. O sistema que temos é:
5x - 2y + 2z = 2 3x + y + 4z = -1 4x - 3y + 4z = 3
Para resolver esse sistema, vamos usar operações de linha para chegar a uma forma escalonada, facilitando a determinação dos valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em uma matriz aumentada:
5 & -2 & 2 & | & 2 3 & 1 & 4 & | & -1 4 & -3 & 4 & | & 3

Passo 3

Nosso objetivo é ter um 1 na posição do primeiro elemento da primeira linha (pivot). Podemos dividir a primeira linha por 5:
1 & -25 & 25 & | & 25 3 & 1 & 4 & | & -1 4 & -3 & 4 & | & 3

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 - 3 times 1 = 0 1 - 3 times (-25) = 1 + 65 = 115 4 - 3 times 25 = 4 - 65 = 145 -1 - 3 times 25 = -1 - 65 = -115 das segunda e terceira linhas. Para isso, subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda e 4 vezes a primeira linha da terceira:
Para a segunda linha:
4 - 4 times 1 = 0 -3 - 4 times (-25) = -3 + 85 = -75 4 - 4 times 25 = 4 - 85 = 125 3 - 4 times 25 = 3 - 85 = 75
Para a terceira linha:
1 & -25 & 25 & | & 25 0 & 115 & 145 & | & -115 0 & -75 & 125 & | & 75
A matriz fica:

Passo 5

Agora, vamos deixar o coeficiente de 1 & -25 & 25 & | & 25 0 & 1 & 1411 & | & -1 0 & -75 & 125 & | & 75 na segunda linha como 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por :

Passo 6

Vamos eliminar o 0 + 75 times 0 = 0 -75 + 75 times 1 = 0 125 + 75 times 1411 = 125 + 9855 = 13255 + 9855 = 23055 = 4611 75 + 75 times (-1) = 75 - 75 = 0 da terceira linha. Para isso, somamos 1 & -25 & 25 & | & 25 0 & 1 & 1411 & | & -1 0 & 0 & 4611 & | & 0 vezes a segunda linha à terceira linha:
A matriz fica:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o valor de 4611 z = 0 z = 0 a partir da terceira linha:

Passo 8

Com y + 1411 times 0 = -1 y = -1 , substituímos na segunda linha para encontrar :

Passo 9

Por fim, substituímos x - 25 times (-1) + 25 times 0 = 25 x + 25 = 25 x = 0 e na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , e .

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