Sabendo que A=[llla & b & c d & e & f g & h & i] e que det(A)=-4.
Calcule det(B) e det((2 B)^-1), onde B=[ccca+d & b+e & c+f -d & -e & -f 3 g & 3 h & 3 i]

Passo 1

Então, temos duas matrizes aqui: e . Sabemos que o determinante de é . Nosso objetivo é encontrar o determinante de e também o determinante da inversa de . Para isso, vamos usar propriedades de determinantes e algumas operações básicas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a matriz está relacionada com a matriz . Observando , vemos que:
  • A primeira linha de é a soma das primeiras duas linhas de .
  • A segunda linha de é a segunda linha de multiplicada por .
  • A terceira linha de é a terceira linha de multiplicada por .

Passo 3

Vamos lembrar que o determinante de uma matriz é uma medida que nos dá informações sobre a escala e orientação da transformação linear representada pela matriz. Algumas propriedades importantes que vamos usar são:
  1. Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar , o determinante é multiplicado por .
  2. Se somarmos uma múltipla de uma linha a outra linha, o determinante não muda.
  3. O determinante da inversa de uma matriz é o inverso do determinante da matriz original.
  4. O determinante de , onde é uma matriz , é vezes o determinante de .

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(B) = (-1) times 3 times det(A) = (-1) times 3 times (-4) = 12 . Observando as operações que relacionam a :
  • Na primeira linha de , somamos duas linhas de , o que não altera o determinante.
  • Na segunda linha de , multiplicamos a segunda linha de por , então o determinante de será vezes o determinante de .
  • Na terceira linha de , multiplicamos a terceira linha de por , então o determinante será vezes o anterior.
Multiplicando essas alterações:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de det(2B) = 2^3 times det(B) = 8 times 12 = 96 . Primeiro, vamos encontrar det((2B)^-1) = 1det(2B) = 196 :
Usando a propriedade 4 mencionada antes, para uma matriz :
Agora, para a inversa:

Resposta

det(B) = 12 e det((2B)^-1) = 196

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