Sabendo que o vetor (1,1,0,-1) é uma solução do sistema linear abaixo, encontre todas as soluções.
x1+x2-x3+2 x4 & =0 2 x1-x2+x3+x4 & =0 x1+x2+x3+x4 & =1 3 x1+3 x4 & =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . A gente sabe que o vetor é uma solução desse sistema. Nosso objetivo é encontrar todas as soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar a visualização:
x1 + x2 - x3 + 2x4 = 0 2x1 - x2 + x3 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 1 3x1 + 3x4 = 0
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
1 & 1 & -1 & 2 & | & 0 2 & -1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 3 & 0 & 0 & 3 & | & 0

Passo 3

Nosso próximo passo é usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Vamos começar eliminando o 1 & 1 & -1 & 2 & | & 0 0 & -3 & 3 & -3 & | & 0 1 & 1 & 1 & 1 & | & 1 3 & 0 & 0 & 3 & | & 0 das equações abaixo da primeira.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
1 & 1 & -1 & 2 & | & 0 0 & -3 & 3 & -3 & | & 0 0 & 0 & 2 & -1 & | & 1 3 & 0 & 0 & 3 & | & 0
Subtraindo a primeira linha da terceira:
1 & 1 & -1 & 2 & | & 0 0 & -3 & 3 & -3 & | & 0 0 & 0 & 2 & -1 & | & 1 0 & -3 & 3 & -3 & | & 0
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da quarta:

Passo 4

Observamos que a segunda e a quarta linhas são idênticas. Isso significa que temos linhas redundantes e podemos remover uma delas:
1 & 1 & -1 & 2 & | & 0 0 & -3 & 3 & -3 & | & 0 0 & 0 & 2 & -1 & | & 1

Passo 5

Agora, vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Da segunda equação:
-3x2 + 3x3 - 3x4 = 0
Podemos dividir todos os termos por -3:
x2 - x3 + x4 = 0 Rightarrow x2 = x3 - x4

Passo 6

Da terceira equação:
2x3 - x4 = 1
Vamos resolver para x4 = 2x3 - 1 :

Passo 7

Agora, substituímos x2 = x3 - (2x3 - 1) = -x3 + 1 na expressão de :

Passo 8

Vamos voltar à primeira equação para encontrar x1 + x2 - x3 + 2x4 = 0 :
x1 + (-x3 + 1) - x3 + 2(2x3 - 1) = 0
Substituindo x1 - x3 + 1 - x3 + 4x3 - 2 = 0 x1 + 2x3 -1 = 0 x1 = -2x3 +1 e :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de x1 = -2x3 +1 x2 = -x3 +1 x4 = 2x3 -1 :
(x1, x2, x3, x4) = (-2x3 +1, , -x3 +1, , x3, , 2x3 -1)
Como (x1, x2, x3, x4) = (1, 1, 0, -1) + t(-2, -1, 1, 2) é uma variável livre (pode assumir qualquer valor real), podemos escrever as soluções da seguinte forma:
Podemos também expressar isso usando um parâmetro, por exemplo, :

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
(x1, x2, x3, x4) = (1, , 1, , 0, , -1) + t,(-2, , -1, , 1, , 2), onde t in R

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