Sabendo que o vetor é uma solução do sistema linear abaixo, encontre todas as soluções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . A gente sabe que o vetor é uma solução desse sistema. Nosso objetivo é encontrar todas as soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar a visualização:
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:

Passo 3

Nosso próximo passo é usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da quarta:

Passo 4

Observamos que a segunda e a quarta linhas são idênticas. Isso significa que temos linhas redundantes e podemos remover uma delas:

Passo 5

Agora, vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Da segunda equação:
Podemos dividir todos os termos por -3:

Passo 6

Da terceira equação:
Vamos resolver para :

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 8

Vamos voltar à primeira equação para encontrar :
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 9

Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de :
Como é uma variável livre (pode assumir qualquer valor real), podemos escrever as soluções da seguinte forma:
Podemos também expressar isso usando um parâmetro, por exemplo, :

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:

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