Sabendo que o vetor é uma solução do sistema linear abaixo, encontre todas as soluções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: , , e . A gente sabe que o vetor é uma solução desse sistema. Nosso objetivo é encontrar todas as soluções desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações, matrizes e espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial para facilitar a visualização:
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema:
Passo 3
Nosso próximo passo é usar o método de eliminação de Gauss para simplificar essa matriz. Vamos começar eliminando o das equações abaixo da primeira.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Subtraindo a primeira linha da terceira:
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da quarta:
Passo 4
Observamos que a segunda e a quarta linhas são idênticas. Isso significa que temos linhas redundantes e podemos remover uma delas:
Passo 5
Agora, vamos simplificar as equações para facilitar a resolução. Da segunda equação:
Podemos dividir todos os termos por -3:
Passo 6
Da terceira equação:
Vamos resolver para :
Passo 7
Agora, substituímos na expressão de :
Passo 8
Vamos voltar à primeira equação para encontrar :
Substituindo e :
Simplificando:
Passo 9
Agora, temos todas as variáveis expressas em termos de :
Como é uma variável livre (pode assumir qualquer valor real), podemos escrever as soluções da seguinte forma:
Podemos também expressar isso usando um parâmetro, por exemplo, :