Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
sumn=1^infty[18^n+1n(n+1)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série infinita e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma. Para resolver isso, vamos usar algumas séries conhecidas e entender como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
sumn=1^infty[18^n+1n(n+1)] = sumn=1^infty18^n + sumn=1^infty1n(n+1)
Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente.

Passo 3

Analisando a primeira série: sumn=0^inftyar^n
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
a = 18, r = 18
No nosso caso, começando em S = a1 - r , temos:
S = 181 - 18 = 1878 = 17
Uma série geométrica converge se o valor absoluto de é menor que 1 ( ) e a soma é dada por:
Como , a série converge. Calculando a soma:

Passo 4

Analisando a segunda série: 1n(n+1) = 1n - 1n+1
Essa é uma série telescópica, que pode ser simplificada usando frações parciais. Vamos decompor o termo geral:
sumn=1^infty(1n - 1n+1)
Então, a série fica:
(11 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots
Se expandirmos os primeiros termos, vemos que muitos termos se cancelam:
1 - limn to infty 1n+1 = 1 - 0 = 1
Somando-os, resta apenas:
Portanto, essa série também converge e sua soma é 1.

Passo 5

Agora que analisamos as duas partes da série original e vimos que ambas convergem, podemos somar as somas encontradas:
sumn=1^infty[18^n+1n(n+1)] = 17 + 1 = 87

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

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