Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série infinita
e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma. Para resolver isso, vamos usar algumas séries conhecidas e entender como elas se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente.
Passo 3
Analisando a primeira série:
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
No nosso caso, começando em
, temos:
Uma série geométrica converge se o valor absoluto de
é menor que 1 (
) e a soma é dada por:
Como
, a série converge. Calculando a soma:
Passo 4
Analisando a segunda série:
Essa é uma série telescópica, que pode ser simplificada usando frações parciais. Vamos decompor o termo geral:
Então, a série fica:
Se expandirmos os primeiros termos, vemos que muitos termos se cancelam:
Somando-os, resta apenas:
Portanto, essa série também converge e sua soma é 1.
Passo 5
Agora que analisamos as duas partes da série original e vimos que ambas convergem, podemos somar as somas encontradas:
Resposta
A série é convergente e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
a)
a)
Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Seja
dada por
. Calcule e simplifique:
b)
b)
Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.