Utilize séries conhecidas, convergentes ou divergentes, para determinar se a série é convergente ou divergente; no caso de convergência, determine a soma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série infinita e determinar se ela converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma. Para resolver isso, vamos usar algumas séries conhecidas e entender como elas se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série em duas partes para facilitar a análise:
Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente.

Passo 3

Analisando a primeira série:
Essa é uma série geométrica, que tem a forma geral:
No nosso caso, começando em , temos:
Uma série geométrica converge se o valor absoluto de é menor que 1 ( ) e a soma é dada por:
Como , a série converge. Calculando a soma:

Passo 4

Analisando a segunda série:
Essa é uma série telescópica, que pode ser simplificada usando frações parciais. Vamos decompor o termo geral:
Então, a série fica:
Se expandirmos os primeiros termos, vemos que muitos termos se cancelam:
Somando-os, resta apenas:
Portanto, essa série também converge e sua soma é 1.

Passo 5

Agora que analisamos as duas partes da série original e vimos que ambas convergem, podemos somar as somas encontradas:

Resposta

A série é convergente e a sua soma é .

Exercícios relacionados

Seja dada por . Calcule e simplifique:
a)
Utilize o teste para divergência para determinar se a série diverge, ou se é necessária uma investigação adicional.
Seja dada por . Calcule e simplifique:
b)
Resolva usando dois métodos diferentes e compare o resultado.