Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial do tipo matricial:
Isso está ligado ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral desse sistema, que envolve:
- Resolver o sistema homogêneo associado (sem o termo constante).
- Encontrar uma solução particular para o sistema completo.
- Somar as duas soluções para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz:
Passo 3
Os valores próprios são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Então:
Passo 4
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos o autovetor
.
Para
:
Resolvemos
:
Da primeira equação:
Escolhendo
, temos o autovetor
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema homogêneo é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para o sistema completo:
Vamos supor que
é constante, ou seja,
. Então:
Rearranjando:
Passo 7
Resolvendo o sistema
:
Isso dá as equações:
Vamos resolver a segunda equação para
:
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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