Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu uma equação diferencial do tipo matricial:
Isso está ligado ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral desse sistema, que envolve:
  1. Resolver o sistema homogêneo associado (sem o termo constante).
  2. Encontrar uma solução particular para o sistema completo.
  3. Somar as duas soluções para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz:

Passo 3

Os valores próprios são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Simplificando:
Então:

Passo 4

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos o autovetor .
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos o autovetor .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema homogêneo é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo:
Vamos supor que é constante, ou seja, . Então:
Rearranjando:

Passo 7

Resolvendo o sistema :
Isso dá as equações:
Vamos resolver a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea com a particular:
Substituindo:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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