Resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
. Esse problema faz parte da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios dessa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Os valores próprios (
) são encontrados resolvendo o determinante
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando
:
O determinante dessa matriz é:
Passo 4
Expandindo o determinante:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para
.
Passo 5
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 6
Com valores próprios complexos, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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