Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada: . Esse problema faz parte da matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai precisar encontrar os valores próprios e os vetores próprios dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Os valores próprios ( ) são encontrados resolvendo o determinante , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando :
O determinante dessa matriz é:

Passo 4

Expandindo o determinante:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para .

Passo 5

Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os valores próprios são e .

Passo 6

Com valores próprios complexos, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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