Resolva para x e represente a solução na reta numérica
(h) |x^2 - 5x| < |x|^2 - |5x|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é: Resolva para e represente a solução na reta numérica.
Estamos lidando com funções valor absoluto e inequações quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com os módulos ( ) e as propriedades das inequações. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a inequação dada:
Vamos simplificar isso. Sabemos que e . Então, substituindo na inequação:

Passo 3

Agora, para resolver essa inequação envolvendo valores absolutos, precisamos considerar os diferentes casos baseados no sinal de . Ou seja, vamos analisar quando é positivo e quando é negativo.
Caso 1:
Caso 2:
Vamos resolver cada caso separadamente.

Passo 4

Caso 1:
Nesse caso, e . Substituindo na inequação:
Agora, vamos analisar o lado esquerdo . Isso depende do sinal de :
  • Se , então
  • Se , então
Vamos descobrir quando :
Fatorando:
As soluções são ou . Mas lembrando que nesse caso estamos considerando , então a condição se reduz a .
Então, para :
Isso não faz sentido, pois está afirmando que algo é menor que ele mesmo, o que é impossível. Portanto, não há solução nesse subcaso.
Agora, para :
Substituindo na inequação:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 5

Continuando no Caso 1: e :
Temos a inequação:
Vamos levar todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando:
Podemos multiplicar ambos os lados por (lembrando que isso inverte o sinal da inequação):
Fatorando:
As soluções dessa inequação são quando ou . Mas estamos no intervalo , então não há solução nesse subcaso.
Portanto, no Caso 1, não há soluções.

Passo 6

Caso 2:
Nesse caso, e . Substituindo na inequação:
Vamos analisar o lado esquerdo :
Como , vamos ver o sinal de :
Aqui, é sempre positivo e também é positivo (porque ). Portanto, , então:
Substituindo na inequação:

Passo 7

Simplificando a inequação no Caso 2:
Vamos subtrair de ambos os lados:
Agora, somando em ambos os lados:
Dividindo por 10:
Mas lembrando que estamos no Caso 2, onde . A inequação nos dá , o que não é possível nesse caso.
Portanto, não há soluções no Caso 2.

Resposta

Após analisar todos os casos, concluímos que não há solução para a inequação dada. Ou seja, não existe nenhum valor de que satisfaça

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