Seja
f(x)=raiz3+x-raiz3x
b) (2 pontos) Calcule o limite
lim x 0 f(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
f(x) = raiz3 + x - raiz3x
e precisamos calcular o limite dessa função quando se aproxima de 0. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente limites e derivadas.

Passo 2

Para encontrar o limite , observamos que se substituirmos diretamente na função, teremos uma forma indeterminada . Portanto, precisamos simplificar a expressão para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Uma técnica útil para simplificar expressões com raízes é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de f(x) = raiz3 + x - raiz3x times raiz3 + x + raiz3raiz3 + x + raiz3 = ( raiz3 + x )^2 - (raiz3)^2x (raiz3 + x + raiz3) é . Vamos fazer isso:

Passo 4

Simplificando o numerador:
( raiz3 + x )^2 - (raiz3)^2 = (3 + x) - 3 = x
Então, a expressão fica:
f(x) = xx (raiz3 + x + raiz3)

Passo 5

Cancelando o f(x) = 1raiz3 + x + raiz3 no numerador e denominador:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite substituindo limx 0 f(x) = 1raiz3 + 0 + raiz3 = 1raiz3 + raiz3 = 12raiz3 :

Resposta

O limite é .

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