Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação separável. É uma equação onde conseguimos colocar todas as expressões com de um lado e todas as com do outro lado. Nossa equação é:
Lembrando que , podemos reescrever a equação assim:
Passo 3
Vamos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Mas queremos isolar e adequadamente. Então, reescrevemos:
Assim, as variáveis estão separadas: tudo com de um lado e tudo com do outro.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em termos de e a do lado direito em termos de :
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 5
Começando pela integral do lado esquerdo:
Lembrando que para .
Aqui, , então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Esta é uma integral padrão que resulta em uma função logarítmica.
Passo 7
Resolvendo a integral utilizando a fórmula:
Aqui, e , então:
Passo 8
Agora, juntando os resultados das integrais dos dois lados:
Passo 9
Isolando para obter a solução geral da equação diferencial: