Resolva:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação separável. É uma equação onde conseguimos colocar todas as expressões com de um lado e todas as com do outro lado. Nossa equação é:
Lembrando que , podemos reescrever a equação assim:

Passo 3

Vamos separar as variáveis. Para isso, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Mas queremos isolar e adequadamente. Então, reescrevemos:
Assim, as variáveis estão separadas: tudo com de um lado e tudo com do outro.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em termos de e a do lado direito em termos de :
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 5

Começando pela integral do lado esquerdo:
Lembrando que para .
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral do lado direito:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Esta é uma integral padrão que resulta em uma função logarítmica.

Passo 7

Resolvendo a integral utilizando a fórmula:
Aqui, e , então:

Passo 8

Agora, juntando os resultados das integrais dos dois lados:

Passo 9

Isolando para obter a solução geral da equação diferencial:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 10

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva:
Considere o conjunto
Mostre que o conjunto é limitado;
Classificar as seguintes equações diferenciais, indicando sua ordem e grau algébrico. Também verifique se as funções que se indicam são soluções das equações diferenciais que as acompanham:
;
Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial.