Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares juntos! A questão envolve encontrar funções , e que satisfazem as equações dadas e as condições iniciais . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e valores próprios, que são ferramentas essenciais para lidar com sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada usando matrizes. As equações que temos são:
Podemos representar isso como:
Onde e é a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Agora, para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) de . Isso significa resolver o determinante de , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Vamos montar a matriz :

Passo 4

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
Calculando os determinantes menores:
Então, o determinante total fica:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação , encontramos os valores próprios:
Então, os valores próprios são , e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Começando com :
Resolvemos :

[


]
A partir da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Podemos escolher , então o vetor próprio é .

Passo 7

Fazendo o mesmo para :
Resolvendo :
Da terceira equação: .
Da segunda equação: . Substituindo :
.
Escolhendo , temos .

Passo 8

Para :
Resolvendo :
Da terceira equação: .
Da segunda equação: . Substituindo :
.
Escolhendo , temos .

Passo 9

Agora que temos os vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema:
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando :

Passo 10

Por fim, aplicamos as condições iniciais :
Isso nos dá um sistema de equações para resolver os coeficientes :
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Subtraindo a terceira equação da segunda:
Substituindo na terceira equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então:

Resposta

A solução do sistema é:
Que pode ser escrita componente a componente como:

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