Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. y1^prime=2 y1-6 y3
& y2^prime=y1-3 y3 & y3^prime=y2-2 y3 & y1
y1(0)=y2(0)=y3(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares juntos! A questão envolve encontrar funções , e que satisfazem as equações dadas e as condições iniciais . Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e valores próprios, que são ferramentas essenciais para lidar com sistemas lineares de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada usando matrizes. As equações que temos são:
y1' = 2y1 - 6y3 y2' = y1 - 3y3 y3' = y2 - 2y3
Podemos representar isso como:
y' = Ay
Onde y1 y2 y3 e A = 2 & 0 & -6 1 & 0 & -3 0 & 1 & -2 é a matriz dos coeficientes:

Passo 3

Agora, para resolver esse sistema, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) de A - lambda I = 2 - lambda & 0 & -6 1 & -lambda & -3 0 & 1 & -2 - lambda . Isso significa resolver o determinante de , onde é a matriz identidade e representa os valores próprios.
Vamos montar a matriz :

Passo 4

Em seguida, calculamos o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (2 - lambda) cdot det -lambda & -3 1 & -2 - lambda - 0 + (-6) cdot det 1 & -lambda 0 & 1
Calculando os determinantes menores:
det -lambda & -3 1 & -2 - lambda = (-lambda)(-2 - lambda) - (-3)(1) = lambda(2 + lambda) + 3 = lambda^2 + 2lambda + 3
det 1 & -lambda 0 & 1 = (1)(1) - (-lambda)(0) = 1
Então, o determinante total fica:
(2 - lambda)(lambda^2 + 2lambda + 3) - 6(1) = 0
Expandindo:
2lambda^2 + 4lambda + 6 - lambda^3 - 2lambda^2 - 3lambda - 6 = 0
Simplificando:
-lambda^3 + lambda = 0 implies lambda(-lambda^2 + 1) = 0

Passo 5

Resolvendo a equação lambda = 0 ou -lambda^2 + 1 = 0 implies lambda^2 = 1 implies lambda = pm 1 , encontramos os valores próprios:
Então, os valores próprios são , e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio. Começando com 2 & 0 & -6 1 & 0 & -3 0 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos 3 2 1 :

[


]
A partir da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Podemos escolher , então o vetor próprio é .

Passo 7

Fazendo o mesmo para A - I = 1 & 0 & -6 1 & -1 & -3 0 & 1 & -3 :
6 3 1
Resolvendo :
Da terceira equação: .
Da segunda equação: . Substituindo :
.
Escolhendo , temos .

Passo 8

Para A + I = 3 & 0 & -6 1 & 1 & -3 0 & 1 & -1 :
2 1 1
Resolvendo :
Da terceira equação: .
Da segunda equação: . Substituindo :
.
Escolhendo , temos .

Passo 9

Agora que temos os vetores próprios, podemos escrever a solução geral do sistema:
y(t) = C1 e^lambda1 t v1 + C2 e^lambda2 t v2 + C3 e^lambda3 t v3
Substituindo os valores encontrados:
y(t) = C1 e^0 cdot t 3 2 1 + C2 e^1 cdot t 6 3 1 + C3 e^-1 cdot t 2 1 1
Simplificando y(t) = C1 3 2 1 + C2 e^t 6 3 1 + C3 e^-t 2 1 1 :

Passo 10

Por fim, aplicamos as condições iniciais 2 2 2 :
2 2 2 = C1 3 2 1 + C2 6 3 1 + C3 2 1 1
Isso nos dá um sistema de equações para resolver os coeficientes 3C1 + 6C2 + 2C3 = 2 2C1 + 3C2 + C3 = 2 C1 + C2 + C3 = 2 :
C1 + 2C2 = 0 implies C1 = -2C2
Resolvendo esse sistema, encontramos:
Subtraindo a terceira equação da segunda:
-2C2 + C2 + C3 = 2 implies -C2 + C3 = 2 implies C3 = C2 + 2
Substituindo 3(-2C2) + 6C2 + 2(C2 + 2) = 2 implies -6C2 + 6C2 + 2C2 + 4 = 2 implies 2C2 = -2 implies C2 = -1 na terceira equação:
C1 = -2(-1) = 2 C3 = -1 + 2 = 1
Agora, substituindo e na primeira equação:
Então:

Resposta

A solução do sistema é:
y(t) = 2 3 2 1 + (-1) e^t 6 3 1 + 1 cdot e^-t 2 1 1
Que pode ser escrita componente a componente como:
y1(t) = 6 - 6 e^t + 2 e^-t y2(t) = 4 - 3 e^t + e^-t y3(t) = 2 - e^t + e^-t

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