Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de quinto grau

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que verificar se o conjunto de todos os polinômios de quinto grau, junto com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, a gente vai precisar lembrar dos axiomas de espaço vetorial e ver se eles são todos satisfeitos nesse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de quinto grau. É qualquer polinômio da forma:
p(x) = a5x^5 + a4x^4 + a3x^3 + a2x^2 + a1x + a0
onde . Isso significa que o termo de maior grau é .

Passo 3

Agora, para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer dez axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência do zero vetorial, etc. Vamos checar alguns deles.

Passo 4

Axioma do Fechamento sob a Adição: Se você pegar dois polinômios de quinto grau e somar, o resultado precisa ser também um polinômio de quinto grau.
Vamos ver um exemplo:
p(x) = x^5 + 2x^4 q(x) = -x^5 + 3x^3
Somando:
p(x) + q(x) = (x^5 - x^5) + 2x^4 + 3x^3 = 2x^4 + 3x^3
Aqui, o cancela, e o resultado é um polinômio de quarto grau, não de quinto grau!

Passo 5

Axioma do Fechamento sob a Multiplicação por Escalar: Se você multiplicar um polinômio de quinto grau por um escalar qualquer, o resultado também deve ser um polinômio de quinto grau.
Vamos multiplicar por zero:
0 cdot p(x) = 0
O resultado é o polinômio zero, que não tem nenhum termo, ou seja, não é de quinto grau.

Passo 6

Como vimos, o conjunto não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação por escalar. Isso já é suficiente para dizer que não é um espaço vetorial, porque não satisfaz os axiomas de fechamento.

Resposta

O conjunto de todos os polinômios de quinto grau não forma um espaço vetorial, pois não é fechado nem sob a adição nem sob a multiplicação por escalar. Especificamente, ele não satisfaz o axioma de fechamento sob a adição e o axioma de fechamento sob a multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados