Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes triangulares superiores
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que verificar se o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar que usamos normalmente, forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define um espaço vetorial e quais propriedades devemos verificar.
Passo 2
Primeiro, o que é uma matriz triangular superior? É uma matriz onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. Por exemplo, uma matriz triangular superior tem a forma:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que define um espaço vetorial. Um espaço vetorial precisa satisfazer 10 axiomas, como fechamento sob adição e multiplicação por escalar, existência de elemento neutro, existência de inversos, associatividade, etc. Vamos focar nos principais para verificar se nosso conjunto cumpre.
Passo 4
Primeiro, fechamento sob adição: se somarmos duas matrizes triangulares superiores, o resultado será outra matriz triangular superior. Isso acontece porque adicionar dois zeros (abaixo da diagonal) ainda dá zero. Por exemplo:
[
+
]
Passo 5
Segundo, fechamento sob multiplicação por escalar: se multiplicarmos uma matriz triangular superior por um número real (escalar), ela continua sendo triangular superior. Multiplicar cada elemento abaixo da diagonal (que já são zeros) por qualquer número ainda será zero. Por exemplo:
[
k \cdot
]
Passo 6
Além disso, todas as outras propriedades dos espaços vetoriais, como associatividade, existência do elemento neutro (a matriz zero triangular superior), e existência de inversos aditivos, também são satisfeitas porque são herdadas do conjunto das matrizes em geral, que já forma um espaço vetorial.
Resposta
Sim, o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, com as operações usuais, é um espaço vetorial.