Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de terceiro grau

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto de todos os polinômios de terceiro grau, junto com as operações que a gente já conhece (tipo soma e multiplicação por escalar), forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de “vetores” (neste caso, polinômios) que permite duas operações: soma e multiplicação por escalar, e que seguem certas regras chamadas axiomas. São dez axiomas que precisam ser válidos para tudo nesse conjunto.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o conjunto de todos os polinômios de terceiro grau. Um polinômio de terceiro grau tem a forma:
p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
onde (porque senão não seria de terceiro grau).

Passo 4

Vamos verificar o primeiro axioma importante: fechamento sob a soma. Isso quer dizer que se você pegar dois polinômios de terceiro grau e somar eles, o resultado também deve ser um polinômio de terceiro grau.
Vamos tentar:
Seja (a1 + a2)x^3 + (b1 + b2)x^2 + (c1 + c2)x + (d1 + d2) e .
A soma é:
Isso ainda é um polinômio de terceiro grau se . Mas, e se ? Então, a soma não teria o termo e seria um polinômio de grau menor. Isso significa que nem sempre a soma de dois polinômios de terceiro grau é um polinômio de terceiro grau.

Passo 5

Como encontramos um caso onde a soma de dois elementos do conjunto não pertence mais ao conjunto, isso quebra o axioma de fechamento sob a soma. Se esse axioma não é válido, então o conjunto não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto de todos os polinômios de terceiro grau não é um espaço vetorial, porque ele não é fechado sob a operação de soma. Ou seja, a soma de dois polinômios de terceiro grau pode resultar em um polinômio de grau menor, violando o axioma de fechamento.

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