Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todos os polinômios de terceiro grau
O conjunto de todos os polinômios de terceiro grau
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto de todos os polinômios de terceiro grau, junto com as operações que a gente já conhece (tipo soma e multiplicação por escalar), forma um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos axiomas de um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de “vetores” (neste caso, polinômios) que permite duas operações: soma e multiplicação por escalar, e que seguem certas regras chamadas axiomas. São dez axiomas que precisam ser válidos para tudo nesse conjunto.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto de todos os polinômios de terceiro grau. Um polinômio de terceiro grau tem a forma:
onde
(porque senão não seria de terceiro grau).
Passo 4
Vamos verificar o primeiro axioma importante: fechamento sob a soma. Isso quer dizer que se você pegar dois polinômios de terceiro grau e somar eles, o resultado também deve ser um polinômio de terceiro grau.
Vamos tentar:
Seja
e
.
A soma
é:
Isso ainda é um polinômio de terceiro grau se
. Mas, e se
? Então, a soma não teria o termo
e seria um polinômio de grau menor. Isso significa que nem sempre a soma de dois polinômios de terceiro grau é um polinômio de terceiro grau.
Passo 5
Como encontramos um caso onde a soma de dois elementos do conjunto não pertence mais ao conjunto, isso quebra o axioma de fechamento sob a soma. Se esse axioma não é válido, então o conjunto não é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto de todos os polinômios de terceiro grau não é um espaço vetorial, porque ele não é fechado sob a operação de soma. Ou seja, a soma de dois polinômios de terceiro grau pode resultar em um polinômio de grau menor, violando o axioma de fechamento.
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