Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. y1^prime=-y1+2 y2
y2^prime=2 y1-y2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que a gente tem aqui. O que isso significa é que temos duas funções, e , que dependem do tempo , e as derivadas delas estão relacionadas umas com as outras. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Temos:
y1' = -y1 + 2 y2 y2' = 2 y1 - y2
Isso pode ser escrito como:
Y' = A Y
onde:
Y = y1 y2 , A = -1 & 2 2 & -1

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores ( det(A - lambda I) = 0 ) da matriz det -1 - lambda & 2 2 & -1 - lambda = (-1 - lambda)^2 - (2 cdot 2) = lambda^2 + 2lambda - 3 = 0 . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz lambda = -2 pm raiz4 + 122 = -2 pm raiz162 = -2 pm 42 igual a zero:
lambda1 = 1 e lambda2 = -3
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada -2 & 2 2 & -2 v1 v2 = 0 0 .
Para v1 = 1 1 :
Resolvemos 2 & 2 2 & 2 v1 v2 = 0 0 :
v2 = 1 -1
Isso nos dá a relação . Então, podemos escolher:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a relação . Então, podemos escolher:

Passo 5

Agora, sabemos que a solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores:
Y(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores que encontramos:
Y(t) = c1 e^t 1 1 + c2 e^-3t 1 -1

Resposta

A solução geral do sistema é:
y1(t) = c1 e^t + c2 e^-3t
y2(t) = c1 e^t - c2 e^-3t
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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