Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que a gente tem aqui. O que isso significa é que temos duas funções, e , que dependem do tempo , e as derivadas delas estão relacionadas umas com as outras. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Temos:
Isso pode ser escrito como:
onde:

Passo 3

Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores ( ) da matriz . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a relação . Então, podemos escolher:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a relação . Então, podemos escolher:

Passo 5

Agora, sabemos que a solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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