Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que a gente tem aqui. O que isso significa é que temos duas funções,
e
, que dependem do tempo
, e as derivadas delas estão relacionadas umas com as outras. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de álgebra linear, como encontrar os autovalores e autovetores da matriz do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. Temos:
Isso pode ser escrito como:
onde:
Passo 3
Agora, para resolver o sistema, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Isso é feito resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes para cada
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a relação
. Então, podemos escolher:
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a relação
. Então, podemos escolher:
Passo 5
Agora, sabemos que a solução geral do sistema pode ser escrita como uma combinação linear dos autovetores multiplicados por exponenciais dos autovalores:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.