Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes 2 times 2 da forma [lla & b c & 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se um conjunto específico de matrizes, junto com as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e quais propriedades (ou axiomas) ele deve satisfazer. Vamos precisar dar uma olhada nos axiomas básicos dos espaços vetoriais e ver se eles se aplicam ao conjunto de matrizes que a questão apresentou.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, matrizes) onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar. Para que esse conjunto seja considerado um espaço vetorial, ele precisa satisfazer dez axiomas. Esses axiomas garantem que as operações funcionem de maneira “coerente” e que tudo se comporte como esperamos em um espaço vetorial.

Passo 3

O conjunto dado na questão é o de todas as matrizes a & b c & 0 da forma:
ou seja, matrizes onde o último elemento (na posi��ão (2,2)) é sempre zero. Vamos chamar esse conjunto de .

Passo 4

Para verificar se é um espaço vetorial, vamos checar se ele satisfaz os dez axiomas dos espaços vetoriais. No entanto, uma abordagem mais rápida é verificar se é um subespaço do espaço vetorial maior das matrizes . Para isso, precisamos checar três coisas fundamentais:
  1. O vetor zero está em .
  2. Fechamento sob adição.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar.
Se essas três condições forem verdadeiras, então é um subespaço, e portanto, um espaço vetorial.

Passo 5

1. O vetor zero está em 0 & 0 0 & 0 :
O vetor zero em matrizes é a matriz onde todos os elementos são zero:
Observamos que essa matriz está no conjunto porque o elemento na posição (2,2) é zero. Então, o vetor zero está em .

Passo 6

2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em A = a1 & b1 c1 & 0 , B = a2 & b2 c2 & 0 :
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & 0 + 0 = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & 0
Somando e :
Perceba que a posição (2,2) ainda é zero. Portanto, também está em . Assim, é fechado sob adição.

Passo 7

3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz A = a & b c & 0 , k in R em kA = k cdot a & k cdot b k cdot c & k cdot 0 = k a & k b k c & 0 e um escalar :
Multiplicando por :
Novamente, o elemento na posição (2,2) continua sendo zero. Assim, também está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 8

Como verificamos que:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.
Podemos concluir que é um subespaço do espaço vetorial das matrizes e, portanto, é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto de todas as matrizes a & b c & 0 da forma com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.

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