Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes
da forma
O conjunto de todas as matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente verificar se um conjunto específico de matrizes, junto com as operações normais de soma de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, precisamos entender o que é um espaço vetorial e quais propriedades (ou axiomas) ele deve satisfazer. Vamos precisar dar uma olhada nos axiomas básicos dos espaços vetoriais e ver se eles se aplicam ao conjunto de matrizes que a questão apresentou.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, um espaço vetorial é um conjunto de elementos (neste caso, matrizes) onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação por escalar. Para que esse conjunto seja considerado um espaço vetorial, ele precisa satisfazer dez axiomas. Esses axiomas garantem que as operações funcionem de maneira “coerente” e que tudo se comporte como esperamos em um espaço vetorial.
Passo 3
O conjunto dado na questão é o de todas as matrizes
da forma:
ou seja, matrizes onde o último elemento (na posi��ão (2,2)) é sempre zero. Vamos chamar esse conjunto de
.
Passo 4
Para verificar se
é um espaço vetorial, vamos checar se ele satisfaz os dez axiomas dos espaços vetoriais. No entanto, uma abordagem mais rápida é verificar se
é um subespaço do espaço vetorial maior das matrizes
. Para isso, precisamos checar três coisas fundamentais:
- O vetor zero está em
. - Fechamento sob adição.
- Fechamento sob multiplicação por escalar.
Se essas três condições forem verdadeiras, então
é um subespaço, e portanto, um espaço vetorial.
Passo 5
1. O vetor zero está em
:
O vetor zero em matrizes
é a matriz onde todos os elementos são zero:
Observamos que essa matriz está no conjunto
porque o elemento na posição (2,2) é zero. Então, o vetor zero está em
.
Passo 6
2. Fechamento sob adição:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
Somando
e
:
Perceba que a posição (2,2) ainda é zero. Portanto,
também está em
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 7
3. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz
em
e um escalar
:
Multiplicando
por
:
Novamente, o elemento na posição (2,2) continua sendo zero. Assim,
também está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 8
Como verificamos que:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Podemos concluir que
é um subespaço do espaço vetorial das matrizes
e, portanto,
é um espaço vetorial.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes
da forma
com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial.