Teste para ser espaço vetorial Nos exercícios 13-36, determine se o conjunto, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é válido.
O conjunto de todas as matrizes da forma
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema. A gente precisa descobrir se o conjunto de todas as matrizes da forma é um espaço vetorial, usando as operações padrão de adição e multiplicação por escalar. Para isso, vamos precisar revisar os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se esse conjunto os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores onde podemos realizar duas operações: adição e multiplicação por escalar, e essas operações precisam seguir certos axiomas. São dez axiomas que incluem propriedades como a existência de um vetor nulo, a existência de inversos aditivos, associatividade e comutatividade da adição, entre outros.
Passo 3
Agora, vamos analisar as matrizes desse conjunto. Cada matriz tem 1’s na diagonal principal e variáveis nos outros lugares. Por exemplo:
Passo 4
Um dos axiomas fundamentais de um espaço vetorial é a existência do vetor nulo. No caso de matrizes, o vetor nulo seria a matriz onde todos os elementos são zero:
Passo 5
Vamos verificar se esse vetor nulo está no nosso conjunto. Observando as matrizes do conjunto, vemos que sempre há 1’s na diagonal principal. Portanto, não existe uma matriz no conjunto que tenha zero nessas posições. Isso significa que o vetor nulo não está presente no conjunto.
Passo 6
Como o conjunto não contém o vetor nulo, ele não satisfaz um dos axiomas essenciais de um espaço vetorial. Sem o vetor nulo, já sabemos que o conjunto não pode ser um espaço vetorial, mesmo sem verificar os outros axiomas.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes da forma não é um espaço vetorial, pois não contém o vetor nulo, violando assim um dos axiomas fundamentais de espaços vetoriais.