Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você mandou. A gente tem duas equações:
E as condições iniciais são
e
. Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares com matrizes, onde a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Isso vai nos ajudar a achar as soluções gerais das funções
e
.
Passo 2
Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos o determinante da matriz
, onde
é a matriz identidade.
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática
:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso resulta na equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Isso resulta na equação:
Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral de sistemas lineares de equações diferenciais com autovalores distintos é dada por uma combinação linear das soluções que envolvem exponenciais dos autovalores multiplicadas pelos respectivos autovetores.
Então, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Ou, de forma mais detalhada:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Sabemos que:
Substituindo
nas soluções:
Vamos resolver esse sistema de equações para
e
.
Somando as duas equações:
Agora, substituindo
na equação (2):
Resposta
As soluções do sistema são:
Ou seja,
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