Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você mandou. A gente tem duas equações:
E as condições iniciais são e . Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares com matrizes, onde a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Isso vai nos ajudar a achar as soluções gerais das funções e .

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes do sistema:
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos o determinante da matriz , onde é a matriz identidade.
Simplificando:
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral de sistemas lineares de equações diferenciais com autovalores distintos é dada por uma combinação linear das soluções que envolvem exponenciais dos autovalores multiplicadas pelos respectivos autovetores.
Então, temos:
Substituindo os valores que encontramos:
Ou, de forma mais detalhada:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Sabemos que:
Substituindo nas soluções:
Vamos resolver esse sistema de equações para e .
Somando as duas equações:
Agora, substituindo na equação (2):

Resposta

As soluções do sistema são:
Ou seja,

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