Resolvas os Sistemas de Equações Diferenciais Lineares. & y1^prime=2 y1+4 y2 & y2^prime=-y1-3 y2
y1(0)=3, y2(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais lineares que você mandou. A gente tem duas equações:
y1^prime &= 2 y1 + 4 y2 y2^prime &= -y1 - 3 y2
E as condições iniciais são e . Para resolver isso, vamos usar a teoria de sistemas lineares com matrizes, onde a gente precisa encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes. Isso vai nos ajudar a achar as soluções gerais das funções e .

Passo 2

Primeiro, identificamos a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 2 & 4 -1 & -3
Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz. Para isso, resolvemos o determinante da matriz det(A - lambda I) = det 2 - lambda & 4 -1 & -3 - lambda = (2 - lambda)(-3 - lambda) - (-1)(4) , onde (2 - lambda)(-3 - lambda) + 4 = (lambda^2 + lambda - 6) + 4 = lambda^2 + lambda - 2 = 0 é a matriz identidade.
lambda = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32
Simplificando:
lambda1 = 1 e lambda2 = -2
Resolvendo a equação quadrática :
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um deles.
Para 2 - 1 & 4 -1 & -3 - 1 v1 v2 = 1 & 4 -1 & -4 v1 v2 = 0 0 :
Resolvemos v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = -4v2 :

[
v^(1) = -4 1
2 - (-2) & 4 -1 & -3 - (-2) v1 v2 = 4 & 4 -1 & -1 v1 v2 = 0 0

4v1 + 4v2 = 0 Rightarrow v1 = -v2
v^(2) = -1 1


]
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :

[



]
Isso resulta na equação:
Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução geral de sistemas lineares de equações diferenciais com autovalores distintos é dada por uma combinação linear das soluções que envolvem exponenciais dos autovalores multiplicadas pelos respectivos autovetores.
Então, temos:
y1(t) y2(t) = C1 e^lambda1 t v^(1) + C2 e^lambda2 t v^(2)
Substituindo os valores que encontramos:
y1(t) y2(t) = C1 e^1 cdot t -4 1 + C2 e^-2 t -1 1
Ou, de forma mais detalhada:
y1(t) = -4C1 e^t - C2 e^-2t
y2(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes y1(0) = 3 e y2(0) = 1 e y1(0) = -4C1 - C2 = 3 (1) .
Sabemos que:
y2(0) = C1 + C2 = 1 (2)
Substituindo -4C1 - C2 + C1 + C2 = 3 + 1 Rightarrow -3C1 = 4 Rightarrow C1 = -43 nas soluções:
-43 + C2 = 1 Rightarrow C2 = 1 + 43 = 73
Vamos resolver esse sistema de equações para e .
Somando as duas equações:
Agora, substituindo na equação (2):

Resposta

As soluções do sistema são:
y1(t) = -4 ( -43 ) e^t - 73 e^-2t = 163 e^t - 73 e^-2t
y2(t) = ( -43 ) e^t + 73 e^-2t
Ou seja,
boxed y1(t) &= 163 e^t - 73 e^-2t y2(t) &= -43 e^t + 73 e^-2t

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