Resolve as seguintes edo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente precisa resolver. A EDO dada é:
Para resolver essa equação, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e substituição de variáveis. Vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for o caso, aplicar a substituição adequada para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos em M e N tiverem o mesmo grau quando considerados como funções de x e y.
Vamos analisar os termos:
Agora, observamos os graus de cada termo:
-
tem grau -
tem grau -
tem grau -
tem grau
Como todos os termos têm grau 3, a equação é homogênea.
Passo 3
Como a equação é homogênea, podemos fazer a substituição
ou
. Essa substituição ajuda a transformar a equação em termos de uma única variável
.
Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
-
permanece igual
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, fatoramos
nos termos:
Dividindo toda a equação por
(válido para
):
Passo 6
Expandindo o segundo termo:
Agora, combinamos os termos de
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, a equação reduzida é:
O que nos dá:
Passo 7
Agora, podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Podemos reescrever
como uma nova constante
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
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Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
.
Reduza à forma
cada uma das expressões dadas.
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cada uma das expressões dadas.
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