Resolve as seguintes edo (2 x^2 y + y^3) dx + (x y^2 - 2 x^3) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você trouxe é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente precisa resolver. A EDO dada é:
Para resolver essa equação, vamos usar conceitos de equações diferenciais homogêneas e substituição de variáveis. Vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for o caso, aplicar a substituição adequada para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos em M e N tiverem o mesmo grau quando considerados como funções de x e y.
Vamos analisar os termos:
Agora, observamos os graus de cada termo:
  • tem grau
  • tem grau
  • tem grau
  • tem grau
Como todos os termos têm grau 3, a equação é homogênea.

Passo 3

Como a equação é homogênea, podemos fazer a substituição ou . Essa substituição ajuda a transformar a equação em termos de uma única variável .
Vamos definir:
Diferenciando ambos os lados em relação a x, temos:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece igual
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, fatoramos nos termos:
Dividindo toda a equação por (válido para ):

Passo 6

Expandindo o segundo termo:
Agora, combinamos os termos de :
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto, a equação reduzida é:
O que nos dá:

Passo 7

Agora, podemos separar as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Calculando a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Podemos reescrever como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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